2) Для какого значения x логарифмическое уравнение lg(x-9)+21g(корень2х-1)=2 выполняется?

Veterok

28

Чтобы решить данное логарифмическое уравнение, мы сначала приведем его к более простому виду. Давайте приступим:

1. Начнем с первого слагаемого: \(lg(x-9)\). Заметим, что это можно записать в виде \(log_{10}(x-9)\), так как log по умолчанию означает log по основанию 10.

2. Теперь рассмотрим второе слагаемое: \(21g(\sqrt{2x-1})\). Здесь \(g(t)\) - это обозначение для \(log_{10}(t)\).

3. Подставим значения обратно в исходное уравнение и приведем его к виду \(log_{10}(x-9) + 21log_{10}(\sqrt{2x-1}) = 2\).

4. Используем свойство логарифма \(log(a)+log(b)=log(ab)\), чтобы упростить уравнение: \(log_{10}((x-9)\sqrt{2x-1}^{21}) = 2\).

5. Далее, преобразуем уравнение в вид \(10^2 = (x-9)\sqrt{2x-1}^{21}\), так как \(log_{10}(10^2)=2\).

6. Возводим обе стороны уравнения в степень \(\frac{1}{21}\): \((x-9)\sqrt{2x-1} = 10^\frac{2}{21}\).

7. Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат: \((x-9)^2(2x-1) = (10^\frac{2}{21})^2\).

8. Упростим правую сторону уравнения: \(x^2-18x+81)(2x-1) = \frac{100}{21}\).

9. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: \(2x^3-37x^2+40x-\frac{181}{21} = 0\).

Теперь, для решения этого кубического уравнения, нам потребуется использовать численные методы, так как его нельзя решить аналитически. В данном контексте мы рассматриваем задачу для школьника, поэтому не будем сразу переходить к численным методам. Мы просто привели уравнение к такому виду, где можно заметить правую и левую часть уравнения.

Итак, мы получили уравнение \(2x^3-37x^2+40x-\frac{181}{21} = 0\) для переменной \(x\). Чтобы найти значения \(x\), в которых это уравнение выполняется, требуется использовать алгоритм численного решения уравнений, такой как метод Ньютона или метод половинного деления.

Обратите внимание, что приведенный выше процесс решения логарифмического уравнения может быть сложен для школьников, так как включает в себя манипуляции с логарифмами и кубическим уравнением. Поэтому рекомендуется узнать, какие методы численного решения уравнений изучаются в школе и применить их для решения конкретного уравнения.