2) Какова линейная плотность заряда на тонком длинном стержне, который заряжен равномерно, если он действует на заряд

Bulka

61

2) Чтобы определить линейную плотность заряда (\(\lambda\)) на тонком длинном стержне, который заряжен равномерно, исходя из силы (\(F\)), действующей на заряд, необходимо использовать закон Кулона.

Согласно закону Кулона, сила притяжения между двумя зарядами пропорциональна произведению величин этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

\[ F = \frac{{k \cdot q_1 \cdot q_2}}{{r^2}} \]

где \( k \) - постоянная Кулона (\( k \approx 8.99 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \)), \( q_1 \) и \( q_2 \) - заряды, а \( r \) - расстояние.

В данной задаче мы знаем силу (\( F = 18 \, \text{мН} \)) и расстояние (\( r = 10 \, \text{см} = 0.1 \, \text{м} \)). Штрих над символом означает производную по времени, а штрих под символом означает производную по координате.

Выразим линейную плотность заряда (\( \lambda \)) через известные значения:

\[ \frac{{F}}{{r}} = \frac{{k \cdot q \cdot \lambda}}{{r^2}} \]

Упростим и выразим \(\lambda\):

\[ \lambda = \frac{{F \cdot r}}{{k \cdot q}} \]

Подставим известные значения (\( F = 18 \, \text{мН} \), \( r = 0.1 \, \text{м} \)) и значение постоянной Кулона (\( k \approx 8.99 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \)):

\[ \lambda = \frac{{(18 \times 10^{-3}) \times (0.1)}}{{8.99 \times 10^9 \times q}} \]

Примем заряд (\( q \)) равным единице:

\[ \lambda = \frac{{(18 \times 10^{-3}) \times (0.1)}}{{8.99 \times 10^9}} \]

Подсчитаем значение:

\[ \lambda \approx 0.00002 \, \text{Кл/м} \]

Таким образом, линейная плотность заряда на тонком длинном стержне составляет приблизительно \(0.00002 \, \text{Кл/м}\).

3) Чтобы определить распределение общего заряда (\(q\)) между заряженными шариками на расстоянии (\(r\)), исходя из силы притяжения (\(F\)) между ними, необходимо также использовать закон Кулона.

Формула для силы притяжения:

\[ F = \frac{{k \cdot q_1 \cdot q_2}}{{r^2}} \]

где \( k \) - постоянная Кулона (\( k \approx 8.99 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \)), \( q_1 \) и \( q_2 \) - заряды, а \( r \) - расстояние.

В данной задаче нам известны сила притяжения (\( F = 1 \, \text{Н} \)) и расстояние (\( r = 1 \, \text{м} \)).

Выразим общий заряд (\( q \)) через известные значения:

\[ q = \frac{{F \cdot r^2}}{{k}} \]

Подставим известные значения (\( F = 1 \, \text{Н} \), \( r = 1 \, \text{м} \)) и значение постоянной Кулона (\( k \approx 8.99 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \)):

\[ q = \frac{{1 \times (1^2)}}{{8.99 \times 10^9}} \]

Рассчитаем значение:

\[ q \approx 1.11 \times 10^{-10} \, \text{Кл} \]

Таким образом, общий заряд, распределенный между заряженными шариками, составляет приблизительно \(1.11 \times 10^{-10} \, \text{Кл}\).

4) Для определения напряженности и смещения электрического поля на расстоянии (\( r \)) от центра фарфорового сплошного шара диаметром (\( D \)), несущего равномерно распределенный заряд с объемной плотностью (\( \rho \)), мы можем использовать формулы, связывающие эти значения.

Формула для напряженности (\( E \)) электрического поля внутри шара с радиусом (\( r \)) и объемной плотностью заряда (\( \rho \)):

\[ E = \frac{{\rho \cdot r}}{{3 \varepsilon_0}} \]

где \( \varepsilon_0 \) - электрическая постоянная (\( \varepsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} \, \text{Кл}^2/(\text{Н} \cdot \text{м}^2) \)).

Формула для смещения (\( D \)) электрического поля на расстоянии (\( r \)) от центра шара:

\[ D = \frac{{\rho \cdot r^2}}{{6 \varepsilon_0}} \]

В данной задаче нам известны диаметр (\( D = 5 \, \text{см} = 0.05 \, \text{м} \)) и объемная плотность заряда (\( \rho = 1 \times 10^{-6} \, \text{Кл/м}^3 \)).

Применим формулы для расчета напряженности и смещения:

Напряженность (\( E \)) на расстоянии (\( r = 3 \, \text{см} = 0.03 \, \text{м} \)):

\[ E = \frac{{(1 \times 10^{-6}) \cdot (0.03)}}{{3 \times 8.85 \times 10^{-12}}} \]

Рассчитаем значение:

\[ E \approx 3.39 \times 10^5 \, \text{Н/Кл} \]

Смещение (\( D \)) на расстоянии (\( r = 3 \, \text{см} = 0.03 \, \text{м} \)):

\[ D = \frac{{(1 \times 10^{-6}) \cdot (0.03^2)}}{{6 \times 8.85 \times 10^{-12}}} \]

Подсчитаем значение:

\[ D \approx 1.35 \times 10^{-8} \, \text{Кл} \]

Таким образом, на расстоянии 3 см от центра фарфорового сплошного шара диаметром 5 см, который несет равномерно распределенный заряд с объемной плотностью 1 мкКл/м\(^3\), напряженность электрического поля составляет приблизительно \(3.39 \times 10^5 \, \text{Н/Кл}\), а смещение составляет приблизительно \(1.35 \times 10^{-8} \, \text{Кл}\).