2. Нахождение расстояния точки B от плоскости α (A∈α). Длина наклонной AB составляет 20 см, а угол между наклонной

Никита

60

Решение задачи 2:

Для начала, построим картинку для наглядности. Представим себе плоскость α и точку A, принадлежащую этой плоскости. Также построим наклонную AB, длина которой равна 20 см. Угол между наклонной и плоскостью α равен 45°.

Требуется найти расстояние от точки B до плоскости α. Для этого воспользуемся свойством перпендикуляра: расстояние от точки до плоскости равно длине проекции этой точки на плоскость.

Заметим, что наклонная AB и проекция точки B на плоскость образуют прямой угол, так как угол между наклонной и плоскостью α равен 45°. Обозначим проекцию точки B на плоскость как точку C.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABC. Дано, что длина наклонной AB равна 20 см. Также из условия задачи известно, что угол между наклонной и плоскостью равен 45°. Таким образом, у нас есть два катета: AB = 20 см и BC - искомая длина.

Используя теорему Пифагора, получаем:

\[AC^2 = AB^2 - BC^2\]
\[AC^2 = 20^2 - BC^2\]
\[AC^2 = 400 - BC^2\]

Так как расстояние от точки B до плоскости равно длине проекции AC, то искомое расстояние равно AC. Таким образом, нам требуется найти значение AC.

Известно, что угол между наклонной AB и плоскостью α равен 45°. Поэтому угол между BC и плоскостью α также равен 45°, так как они являются соответствующими углами накрест.

Таким образом, у нас получается прямоугольный треугольник ABC с двумя равными катетами. Мы знаем, что катеты этого треугольника равны, а их сумма равна длине наклонной AB. Значит, BC = AC = 20/2 = 10 см.

Ответ: расстояние от точки B до плоскости α составляет 10 см.

Решение задачи 3:

Дано, что боковое ребро правильной треугольной пирамиды образует угол 45° с плоскостью основания. Высота пирамиды равна 2 см. Требуется найти сторону основания пирамиды.

Построим такую же картинку для наглядности. Плоскость основания пирамиды будем обозначать как плоскость α. Найденные нами угол 45° между боковым ребром и плоскостью α также будет находиться в этой плоскости.

Теперь воспользуемся определением прямоугольного треугольника: прямоугольный треугольник - это треугольник, у которого угол между сторонами является прямым углом.

Так как боковое ребро образует угол 45° с плоскостью основания, а площадь основания равнобедренного треугольника равна \(S = \frac{{a^2 \cdot \sin(45°)}}{2}\), где a - сторона основания правильной треугольной пирамиды.

Теперь зная площадь и высоту пирамиды, мы можем использовать формулу для объёма пирамиды: \(V = \frac{S \cdot h}{3}\).

Подставив значения площади S и высоты h в формулу для объёма пирамиды, получаем:

\[\frac{S \cdot 2}{3} = \frac{{a^2 \cdot \sin(45°)}}{2} \cdot \frac{2}{3}\]
\[a^2 \cdot \sin(45°) = \frac{3 \cdot V}{S}\]
\[a^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \cdot V}{S}\]
\[a^2 = \frac{2 \cdot 3 \cdot V}{S}\]
\[a = \sqrt{\frac{6 \cdot V}{S}}\]

Ответ: сторона основания пирамиды равна \(\sqrt{\frac{6 \cdot V}{S}}\) см.