2. Скільки см має радіус кола, яке потрібно накреслити, якщо провести у ньому радіус, діаметр і хорду?

Morskoy_Kapitan

60

Чтобы решить данную задачу, нужно использовать геометрические свойства окружностей.

1. Пусть радиус данного круга равен \(r\) сантиметрам. Обозначим его центр как точку \(O\).

2. Радиус круга - это отрезок, соединяющий центр круга \(O\) с любой точкой на окружности. Поскольку в данной задаче нужно провести радиус внутри круга, давайте обозначим точку пересечения этого радиуса с окружностью как точку \(A\).

3. Диаметр круга - это отрезок, проходящий через центр круга и заканчивающийся на окружности. Обозначим конечную точку диаметра как точку \(B\).

4. Хорда - это отрезок, соединяющий две точки на окружности. Обозначим концы хорды как точки \(C\) и \(D\).

Теперь приступим к решению задачи.

1. В нашем случае, по условию задачи, необходимо провести радиус, диаметр и хорду внутри круга. Это означает, что точка пересечения радиуса с окружностью (точка \(A\)), точка конца диаметра (точка \(B\)), а также точки концов хорды (точки \(C\) и \(D\)) все лежат внутри круга.

2. Заметим, что хорда \(CD\) является диаметром круга, так как проходит через его центр \(O\).

3. Таким образом, точка \(A\) также будет лежать на хорде \(CD\) и будет делить её на две равные части. Пусть расстояние от точки \(A\) до точки \(O\) равно \(x\) сантиметрам, а расстояние от точки \(A\) до точки \(B\) (то есть половина диаметра) также будет равно \(x\) сантиметрам.

4. Используя свойство окружностей, можно сказать, что касательная, проведенная из точки пересечения радиуса \(A\), и радиусы, проведенные к точкам \(C\) и \(D\), будут перпендикулярны к этим отрезкам.

5. Так как касательная будет перпендикулярна радиусу, проведенному в точку пересечения с окружностью, то отрезок \(OA\) будет одновременно радиусом и высотой прямоугольного треугольника \(OAC\).

6. Также, поскольку отрезок \(OA\) является радиусом окружности, длина этого отрезка равна радиусу \(r\).

7. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(OAC\). У него сторона \(OC\) является гипотенузой, а сторона \(AC\) равна половине диаметра, то есть половине окружности. Поскольку окружность - это \(2\pi r\), то сторона \(AC\) будет равна \(\pi r\).

8. Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника \(OAC\), мы получаем следующее:

\[
OC^2 = OA^2 + AC^2
\]
\[
r^2 = x^2 + (\pi r)^2
\]

9. Решим это уравнение, выразив \(x\) через \(r\). Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[
r^2 = x^2 + \pi^2 r^2
\]
\[
r^2 - \pi^2 r^2 = x^2
\]
\[
r^2(1 - \pi^2) = x^2
\]
\[
x = \sqrt{r^2 (1 - \pi^2)}
\]

Итак, мы получили выражение для длины отрезка \(OA\), который является радиусом круга в данной задаче. Оно равно \(\sqrt{r^2 (1 - \pi^2)}\) сантиметров.