2) Two dice are thrown. Event U - the number of points on the first die is a multiple of 3 . Event V - the number

Yantarka_4565

14

Давайте решим задачу по очереди.

a) Для начала нарисуем таблицу элементарных исходов. Первый кубик может показать числа от 1 до 6, а второй кубик тоже может показать числа от 1 до 6.

Таблица элементарных исходов:

\[
\begin{array}{cccccc}
(1, 1) & (1, 2) & (1, 3) & (1, 4) & (1, 5) & (1, 6) \\
(2, 1) & (2, 2) & (2, 3) & (2, 4) & (2, 5) & (2, 6) \\
(3, 1) & (3, 2) & (3, 3) & (3, 4) & (3, 5) & (3, 6) \\
(4, 1) & (4, 2) & (4, 3) & (4, 4) & (4, 5) & (4, 6) \\
(5, 1) & (5, 2) & (5, 3) & (5, 4) & (5, 5) & (5, 6) \\
(6, 1) & (6, 2) & (6, 3) & (6, 4) & (6, 5) & (6, 6)
\end{array}
\]

Теперь окрасим элементарные исходы, которые благоприятствуют событию U (число очков на первом кубике кратно 3) и событию V (число очков на втором кубике кратно 3).

Штриховой линией обведем элементарные исходы, где значение первого кубика равно 3 или 6 (выбрали числа, кратные 3):

\[
\begin{array}{cccccc}
(1, 1) & (1, 2) & \underline{(1, 3)} & (1, 4) & (1, 5) & \underline{(1, 6)} \\
(2, 1) & (2, 2) & \underline{(2, 3)} & (2, 4) & (2, 5) & \underline{(2, 6)} \\
\underline{(3, 1)} & (3, 2) & \underline{(3, 3)} & (3, 4) & (3, 5) & \underline{(3, 6)} \\
(4, 1) & (4, 2) & \underline{(4, 3)} & (4, 4) & (4, 5) & \underline{(4, 6)} \\
(5, 1) & (5, 2) & \underline{(5, 3)} & (5, 4) & (5, 5) & \underline{(5, 6)} \\
\underline{(6, 1)} & (6, 2) & \underline{(6, 3)} & (6, 4) & (6, 5) & \underline{(6, 6)}
\end{array}
\]

Таким образом, элементарные исходы, благоприятствующие событиям U и V, окрашены штриховой линией.

b) Теперь посмотрим, есть ли общие благоприятствующие элементарные исходы для событий U и V. Первый кубик благоприятствует событию U только тогда, когда показывает числа 3 или 6. Второй кубик благоприятствует событию V только тогда, когда показывает числа 3 или 6. Таким образом, события U и V имеют общие благоприятствующие элементарные исходы: (3, 3), (3, 6), (6, 3) и (6, 6).

c) Событие \(U \cap V\) (читается "U пересечение V") - это событие, когда на обоих кубиках выпадает число, кратное 3. В нашем случае оно содержит следующие благоприятствующие элементарные исходы: (3, 3), (3, 6), (6, 3) и (6, 6).

d) Найдем вероятность события \(U \cup V\) (читается "U объединение V") - события, когда на первом или втором кубике выпадает число, кратное 3. Это можно выразить через сумму вероятностей событий U и V, вычитая вероятность события \(U \cap V\):

\[
P(U \cup V) = P(U) + P(V) - P(U \cap V)
\]

Для нашей задачи вероятности событий U и V равны:

\[
P(U) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
\]

\[
P(V) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
\]

А вероятность события \(U \cap V\) мы уже рассчитали в пункте c:

\[
P(U \cap V) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}
\]

Подставляя все значения в формулу, получаем:

\[
P(U \cup V) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{9} = \frac{7}{9}
\]

Таким образом, вероятность события \(U \cup V\) равна \(\frac{7}{9}\).