Сколько принцесс было на балу, если вся принцесса раз танцевала со всеми присутствующими рыцарями и их количество

Вельвет

32

Давайте разберем задачу пошагово, чтобы ответ был понятным и обоснованным.

Шаг 1: Понимание условия задачи
В задаче говорится, что каждая принцесса раз танцевала со всеми присутствующими рыцарями. При этом количество рыцарей увеличивалось на единицу с каждой новой принцессой. Мы должны определить, сколько принцесс было на балу.

Шаг 2: Построение логической цепочки решения
Чтобы понять, сколько принцесс было на балу, мы можем задаться вопросом: сколько рыцарей танцевало с каждой принцессой?

Если обозначить количество принцесс как \(n\), то первая принцесса будет танцевать с 0 рыцарями (так как она сама единственная на балу), вторая принцесса - с 1 рыцарем, третья принцесса - с 2 рыцарями и так далее.

То есть, общее количество рыцарей, с которыми танцуют принцессы, будет равно сумме арифметической прогрессии:
\[0 + 1 + 2 + 3 + ... + (n-1)\]

Шаг 3: Вычисление суммы арифметической прогрессии
Сумму арифметической прогрессии можно найти по формуле:
\[S = \frac{n \cdot (n - 1)}{2}\]

где \(S\) - сумма прогрессии, а \(n\) - количество принцесс на балу.

Шаг 4: Нахождение количества принцесс
Мы знаем, что общее количество рыцарей равно сумме арифметической прогрессии. По условию, каждая принцесса танцевала только раз с каждым рыцарем. Таким образом, количество принцесс на балу будет равно количеству рыцарей:
\[S = n \Rightarrow \frac{n \cdot (n - 1)}{2} = n\]

Шаг 5: Решение уравнения
Для нахождения количества принцесс, решим уравнение:
\[\frac{n \cdot (n - 1)}{2} = n\]

Упростим уравнение, умножив обе части на 2:
\[n \cdot (n - 1) = 2n\]

Раскроем скобки:
\[n^2 - n = 2n\]

Перенесем все слагаемые в одну часть:
\[n^2 - 3n = 0\]

Разделим обе части уравнения на \(n\):
\[n - 3 = 0\]

Таким образом, получаем \(n = 3\).

Ответ: На балу было 3 принцессы.