2 вариант. 1. Какова площадь полной поверхности цилиндра, если известно, что площадь его осевого сечения равна 81

Капля_9889

70

Задача 1:

Дано: Площадь осевого сечения цилиндра - 81 см²
Диаметр основания = образующая

Мы знаем, что площадь осевого сечения цилиндра представляет собой площадь круга. Площадь круга можно вычислить по формуле:

\[S = \pi r^2\]

где S - площадь круга, \(\pi\) - математическая константа, равная приблизительно 3.14, \(r\) - радиус круга.

В данной задаче известно, что площадь осевого сечения цилиндра равна 81 см² и диаметр основания равен образующей. Для нахождения площади полной поверхности цилиндра, нам необходимо вычислить его радиус.

Площадь осевого сечения цилиндра равна площади круга, то есть:

\[81 = \pi r^2\]

Решим это уравнение относительно радиуса \(r\):

\[r^2 = \frac{81}{\pi}\]
\[r = \sqrt{\frac{81}{\pi}}\]

Теперь, когда у нас есть радиус круга, мы можем вычислить площадь полной поверхности цилиндра. Полная поверхность цилиндра состоит из площади его боковой поверхности и площади двух оснований.

Площадь боковой поверхности цилиндра можно вычислить по формуле:

\[S_{бок} = 2 \pi r h\]

где \(S_{бок}\) - площадь боковой поверхности, \(r\) - радиус основания, \(h\) - высота цилиндра.

Площадь основания равна площади круга:

\[S_{осн} = \pi r^2\]

Общая площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и площади двух оснований:

\[S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}\]

Подставляем значения и получаем:

\[S_{полн} = 2 \pi r h + 2 \pi r^2\]

Однако, у нас есть информация, что диаметр основания равен образующей. Образующая цилиндра \(l\) может быть найдена по формуле:

\[l = 2r\]

Мы можем заменить \(r\) в уравнении для полной площади поверхности цилиндра:

\[S_{полн} = 2 \pi r h + 2 \pi (\frac{l}{2})^2\]
\[S_{полн} = 2 \pi r h + 2 \pi \frac{l^2}{4}\]

Подставляем значение \(r = \sqrt{\frac{81}{\pi}}\) и \(l = 2r\):

\[S_{полн} = 2 \pi (\sqrt{\frac{81}{\pi}}) h + 2 \pi \frac{(2\sqrt{\frac{81}{\pi}})^2}{4}\]
\[S_{полн} = 2 \sqrt{81\pi} h + 2 \pi \frac{(2*\sqrt{\frac{81}{\pi}})^2}{4}\]

Данная формула позволит нам вычислить площадь полной поверхности цилиндра при заданных условиях.

Задача 2:

Дано: Катет прямоугольного треугольника = 6 см
Гипотенуза треугольника = 10 см

Мы знаем, что объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника вокруг большего катета, можно вычислить с помощью формулы образующего цилиндра:

\[V = \pi r^2 h\]

где \(V\) - объем тела, \(r\) - радиус основания, \(h\) - высота цилиндра.

Нам необходимо вычислить радиус и высоту цилиндра, которые затем будут использованы в формуле для вычисления объема.

Радиус цилиндра будет равен большему катету прямоугольного треугольника. В данной задаче радиус равен 6 см.

Высоту цилиндра можно найти с помощью теоремы Пифагора:

\[h = \sqrt{c^2 - a^2}\]

где \(c\) - гипотенуза треугольника, \(a\) - меньший катет.

Подставляем значения и получаем:

\[h = \sqrt{10^2 - 6^2}\]
\[h = \sqrt{100 - 36}\]
\[h = \sqrt{64}\]
\[h = 8\]

Теперь у нас есть радиус \(r = 6\) и высота \(h = 8\). Подставляем значения в формулу для объема:

\[V = \pi (6)^2 (8)\]
\[V = 36\pi \cdot 8\]
\[V = 288\pi\]

Таким образом, объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 6 см и гипотенузой 10 см вокруг большего катета, равен \(288\pi\) кубических сантиметров.

Задача 3:

В условии даны следующие данные:
Высота усеченного конуса = \(h\)
Образующая наклонена к плоскости основания под углом \(a\)
Диагональ осевого сечения под углом \(b\)

Мы хотим найти радиусы оснований усеченного конуса, для чего воспользуемся следующими формулами:

\[r_1 = \frac{D_1}{2}\]
\[r_2 = \frac{D_2}{2}\]

где \(r_1\) и \(r_2\) - радиусы оснований усеченного конуса, \(D_1\) и \(D_2\) - диагонали осевых сечений конуса.

Для нахождения данных диагоналей, можем использовать теорему косинусов:

\[D_1 = \sqrt{r_1^2 + h^2 - 2r_1h\cos\alpha}\]
\[D_2 = \sqrt{r_2^2 + h^2 - 2r_2h\cos\beta}\]

где \(\alpha\) и \(\beta\) - углы наклона образующей и диагонали соответственно.

Теперь, чтобы выразить радиусы оснований, подставим найденные формулы для \(D_1\) и \(D_2\):

\[r_1 = \frac{\sqrt{r_1^2 + h^2 - 2r_1h\cos\alpha}}{2}\]
\[r_2 = \frac{\sqrt{r_2^2 + h^2 - 2r_2h\cos\beta}}{2}\]

У нас получилась система уравнений, в которой необходимо найти значения \(r_1\) и \(r_2\). Для решения системы можно использовать различные методы, такие как подстановка или метод Крамера, в зависимости от предпочтений и уровня подготовки ученика.

Задача 4:

Дано: Объем шара - \(V\) кубических сантиметров.

Хотим найти площадь его поверхности.

Мы знаем, что объем шара можно вычислить по формуле:

\[V = \frac{4}{3} \pi r^3\]

где \(V\) - объем шара, \(r\) - его радиус.

Чтобы найти радиус, необходимо перейти к корню из этой формулы:

\[r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}\]

Теперь, когда у нас есть значение радиуса, мы можем вычислить площадь поверхности шара. Площадь поверхности шара можно найти по формуле:

\[S = 4 \pi r^2\]

Подставляем значение \(r\) и получаем:

\[S = 4 \pi (\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}})^2\]

Однако, в задаче дан объем шара, а не его радиус. Поэтому, сначала найдем радиус, затем используем его для нахождения площади поверхности шара.

Выражение для радиуса \(r\) будет:

\[r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}\]

Теперь подставим значение радиуса в формулу для площади поверхности шара:

\[S = 4 \pi (\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}})^2\]

Таким образом, мы можем вычислить площадь поверхности шара при заданном объеме.