2 вариант. 1. Какова площадь полной поверхности цилиндра, если известно, что площадь его осевого сечения равна 81

Капля_9889

70

Задача 1:

Дано: Площадь осевого сечения цилиндра - 81 см²
Диаметр основания = образующая

Мы знаем, что площадь осевого сечения цилиндра представляет собой площадь круга. Площадь круга можно вычислить по формуле:

$$S=\pi r^2$$

где S - площадь круга, $\pi$ - математическая константа, равная приблизительно 3.14, $r$ - радиус круга.

В данной задаче известно, что площадь осевого сечения цилиндра равна 81 см² и диаметр основания равен образующей. Для нахождения площади полной поверхности цилиндра, нам необходимо вычислить его радиус.

Площадь осевого сечения цилиндра равна площади круга, то есть:

$$81=\pi r^2$$

Решим это уравнение относительно радиуса $r$:

$$r^2=\frac{81}{\pi }$$
$$r=\sqrt{\frac{81}{\pi }}$$

Теперь, когда у нас есть радиус круга, мы можем вычислить площадь полной поверхности цилиндра. Полная поверхность цилиндра состоит из площади его боковой поверхности и площади двух оснований.

Площадь боковой поверхности цилиндра можно вычислить по формуле:

$$S_{бок}=2\pi rh$$

где $S_{бок}$ - площадь боковой поверхности, $r$ - радиус основания, $h$ - высота цилиндра.

Площадь основания равна площади круга:

$$S_{осн}=\pi r^2$$

Общая площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и площади двух оснований:

$$S_{полн}=S_{бок}+2S_{осн}$$

Подставляем значения и получаем:

$$S_{полн}=2\pi rh+2\pi r^2$$

Однако, у нас есть информация, что диаметр основания равен образующей. Образующая цилиндра $l$ может быть найдена по формуле:

$$l=2r$$

Мы можем заменить $r$ в уравнении для полной площади поверхности цилиндра:

$$S_{полн}=2\pi rh+2\pi (\frac{l}{2}{)}^2$$
$$S_{полн}=2\pi rh+2\pi \frac{l^2}{4}$$

Подставляем значение $r=\sqrt{\frac{81}{\pi }}$ и $l=2r$:

$$S_{полн}=2\pi (\sqrt{\frac{81}{\pi }})h+2\pi \frac{(2\sqrt{\frac{81}{\pi }}{)}^2}{4}$$
$$S_{полн}=2\sqrt{81\pi }h+2\pi \frac{(2\ast \sqrt{\frac{81}{\pi }}{)}^2}{4}$$

Данная формула позволит нам вычислить площадь полной поверхности цилиндра при заданных условиях.

Задача 2:

Дано: Катет прямоугольного треугольника = 6 см
Гипотенуза треугольника = 10 см

Мы знаем, что объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника вокруг большего катета, можно вычислить с помощью формулы образующего цилиндра:

$$V=\pi r^{2}h$$

где $V$ - объем тела, $r$ - радиус основания, $h$ - высота цилиндра.

Нам необходимо вычислить радиус и высоту цилиндра, которые затем будут использованы в формуле для вычисления объема.

Радиус цилиндра будет равен большему катету прямоугольного треугольника. В данной задаче радиус равен 6 см.

Высоту цилиндра можно найти с помощью теоремы Пифагора:

$$h=\sqrt{c^2-a^2}$$

где $c$ - гипотенуза треугольника, $a$ - меньший катет.

Подставляем значения и получаем:

$$h=\sqrt{{10}^2-6^2}$$
$$h=\sqrt{100-36}$$
$$h=\sqrt{64}$$
$$h=8$$

Теперь у нас есть радиус $r=6$ и высота $h=8$. Подставляем значения в формулу для объема:

$$V=\pi (6{)}^2(8)$$
$$V=36\pi \cdot 8$$
$$V=288\pi$$

Таким образом, объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 6 см и гипотенузой 10 см вокруг большего катета, равен $288\pi$ кубических сантиметров.

Задача 3:

В условии даны следующие данные:
Высота усеченного конуса = $h$
Образующая наклонена к плоскости основания под углом $a$
Диагональ осевого сечения под углом $b$

Мы хотим найти радиусы оснований усеченного конуса, для чего воспользуемся следующими формулами:

$$r_1=\frac{D_1}{2}$$
$$r_2=\frac{D_2}{2}$$

где $r_1$ и $r_2$ - радиусы оснований усеченного конуса, $D_1$ и $D_2$ - диагонали осевых сечений конуса.

Для нахождения данных диагоналей, можем использовать теорему косинусов:

$$D_1=\sqrt{r_1^2+h^2-2r_{1}h\cos \alpha }$$
$$D_2=\sqrt{r_2^2+h^2-2r_{2}h\cos \beta }$$

где $\alpha$ и $\beta$ - углы наклона образующей и диагонали соответственно.

Теперь, чтобы выразить радиусы оснований, подставим найденные формулы для $D_1$ и $D_2$:

$$r_1=\frac{\sqrt{r_1^2+h^2-2r_{1}h\cos \alpha }}{2}$$
$$r_2=\frac{\sqrt{r_2^2+h^2-2r_{2}h\cos \beta }}{2}$$

У нас получилась система уравнений, в которой необходимо найти значения $r_1$ и $r_2$. Для решения системы можно использовать различные методы, такие как подстановка или метод Крамера, в зависимости от предпочтений и уровня подготовки ученика.

Задача 4:

Дано: Объем шара - $V$ кубических сантиметров.

Хотим найти площадь его поверхности.

Мы знаем, что объем шара можно вычислить по формуле:

$$V=\frac{4}{3}\pi r^3$$

где $V$ - объем шара, $r$ - его радиус.

Чтобы найти радиус, необходимо перейти к корню из этой формулы:

$$r=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi }}$$

Теперь, когда у нас есть значение радиуса, мы можем вычислить площадь поверхности шара. Площадь поверхности шара можно найти по формуле:

$$S=4\pi r^2$$

Подставляем значение $r$ и получаем:

$$S=4\pi (\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi }}{)}^2$$

Однако, в задаче дан объем шара, а не его радиус. Поэтому, сначала найдем радиус, затем используем его для нахождения площади поверхности шара.

Выражение для радиуса $r$ будет:

$$r=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi }}$$

Теперь подставим значение радиуса в формулу для площади поверхности шара:

$$S=4\pi (\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi }}{)}^2$$

Таким образом, мы можем вычислить площадь поверхности шара при заданном объеме.