20 1) У стрелка есть 4 патрона для стрельбы по удаленной цели. Вероятность попадания в цель первым выстрелом равна

Романовна

1

1) Для решения задачи воспользуемся законом умножения вероятностей.

а) Для того чтобы стрелок попал в цель первым выстрелом, вероятность этого равна 0,8. То есть, \(P(\text{{попадание с первым выстрелом}}) = 0,8\).

Чтобы стрелок попал в цель вторым выстрелом, он должен промахнуться на первом выстреле и попасть во второй. Вероятность этого равна произведению вероятности промаха на первом выстреле и вероятности попадания на втором выстреле: \(P(\text{{попадание вторым выстрелом}}) = (1 - 0,8) \cdot (0,8 - 0,1) = 0,2 \cdot 0,7 = 0,14\).

Аналогично, чтобы стрелок попал в цель третьим выстрелом, он должен промахнуться первым и вторым выстрелами, а затем попасть третьим. Вероятность этого равна: \(P(\text{{попадание третьим выстрелом}}) = (1 - 0,8) \cdot (1 - 0,14) \cdot (0,8 - 0,2) = 0,2 \cdot 0,86 \cdot 0,6 = 0,1032\).

б) Чтобы найти вероятность того, что стрелок не сможет попасть в цель, нужно определить вероятность промаха на каждом выстреле и сложить их.

Вероятность промаха на первом выстреле равна 1 минус вероятность попадания: \(P(\text{{промах первым выстрелом}}) = 1 - 0,8 = 0,2\).

Вероятность промаха на втором выстреле, при условии, что стрелок промахнулся первым, равна 1 минус вероятность попадания на втором выстреле, уменьшенная на 0,1: \(P(\text{{промах вторым выстрелом}}) = 1 - (0,8 - 0,1) = 0,3\).

Аналогично, вероятность промаха на третьем выстреле, при условии, что стрелок промахнулся первым и вторым, равна 1 минус вероятность попадания на третьем выстреле, уменьшенная на 0,1: \(P(\text{{промах третьим выстрелом}}) = 1 - (0,8 - 0,2) = 0,3\).

Таким образом, вероятность того, что стрелок не сможет попасть в цель, равна сумме этих вероятностей: \(P(\text{{не попадание в цель}}) = 0,2 + 0,3 + 0,3 = 0,8\).

в) Чтобы найти наиболее вероятное количество произведенных выстрелов, нужно определить вероятности попадания с каждым выстрелом и выбрать номер выстрела с наибольшей вероятностью попадания.

Мы уже рассчитали вероятности попадания стрелка первым, вторым и третьим выстрелами. Посмотрим на них:

\(P(\text{{попадание с первым выстрелом}}) = 0,8\)

\(P(\text{{попадание вторым выстрелом}}) = 0,14\)

\(P(\text{{попадание третьим выстрелом}}) = 0,1032\)

Из этих вероятностей видно, что наиболее вероятное количество произведенных выстрелов - один выстрел. Вероятность попадания с первым выстрелом больше, чем вероятность попадания с любым другим выстрелом.

2) Для составления закона распределения случайной величины, отвечающей за количество бракованных изделий, воспользуемся биномиальным распределением.

Пусть случайная величина \(X\) обозначает количество бракованных изделий при производстве данного продукта. Вероятность брака равна 0,3. Также нам известно, что количество испытаний равно 1, так как мы рассматриваем одну попытку производства одного изделия.

Закон распределения для случайной величины \(X\) можно записать в виде:

\[
P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
\]

Где \(C_n^k\) - биномиальный коэффициент, равный количеству комбинаций из \(n\) по \(k\).

В нашем случае, \(n = 1\) (количество испытаний) и \(p = 0,3\) (вероятность брака).

Таким образом, закон распределения случайной величины \(X\) будет выглядеть следующим образом:

\[
P(X = k) = C_1^k \cdot 0,3^k \cdot (1 - 0,3)^{1 - k}
\]

где \(k\) принимает значения 0 и 1.

Теперь можно подставить значения и рассчитать конкретные вероятности для каждого значения \(k\):

\[
P(X = 0) = C_1^0 \cdot 0,3^0 \cdot (1 - 0,3)^{1 - 0} = 0,7
\]

\[
P(X = 1) = C_1^1 \cdot 0,3^1 \cdot (1 - 0,3)^{1 - 1} = 0,3
\]

Таким образом, закон распределения случайной величины, отвечающей за количество бракованных изделий, выглядит следующим образом:

\[
P(X = 0) = 0,7, \quad P(X = 1) = 0,3
\]