25.142. Який об єм конуса, якщо його подовження нахилена до площини основи під кутом 60°, а основа має хорду довжиною
25.142. Який об"єм конуса, якщо його подовження нахилена до площини основи під кутом 60°, а основа має хорду довжиною 2^2 см, розташовану 1 см від центра?
Золотой_Горизонт 54
Для решения этой задачи воспользуемся формулой для объема конуса:\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h,\]
где \(V\) - объем конуса, \(\pi\) - число пи (приближенное значение равно 3.14), \(r\) - радиус основания конуса, \(h\) - высота конуса.
Первым шагом необходимо найти радиус основания конуса. Дано, что основа конуса имеет хорду длиной \(2^2\) см, расположенную 1 см от центра. Чтобы найти радиус, можно использовать теорему Пифагора для нахождения стороны прямоугольного треугольника.
Итак, длина хорды равна \(2^2 = 4\) см, а расстояние от центра до этой хорды равно 1 см. Тогда полухорда равна половине длины хорды:
\[r = \frac{4}{2} = 2 \text{ см}.\]
Теперь, чтобы найти высоту конуса (\(h\)), необходимо знать длину проекции боковой поверхности на плоскость основания (\(d\)). Дано, что подоление конуса наклонено к плоскости основания под углом 60°. Чтобы найти \(d\), мы можем использовать связь между \(d\) и \(r\). Можно заметить, что \(d\) является катетом прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза равна \(r\) и угол между \(d\) и \(r\) равен половине угла подоления конуса (т.е. 30°).
Для нахождения \(d\) используем тригонометрическую функцию \(\sin\).
\[\sin 30° = \frac{d}{r}.\]
Для удобства, заменим угол 30° на его значение с уже известной точностью, равное 0.5.
\[\sin 0.5 = \frac{d}{2}.\]
Теперь мы можем выразить \(d\):
\[d = 2 \cdot \sin 0.5 \approx 0.87 \text{ см}.\]
Теперь, когда у нас есть радиус основания и длина проекции боковой поверхности конуса, мы можем вычислить высоту конуса.
Вспомним, что высота конуса образует прямоугольный треугольник с \(d\) и \(r\) как катетами. Обозначим высоту конуса как \(\sqrt{h^2 + d^2}\).
Используя теорему Пифагора, получим:
\[h^2 + d^2 = r^2.\]
Теперь можем найти \(h\):
\[h^2 = r^2 - d^2,\]
\[h^2 = 2^2 - 0.87^2,\]
\[h^2 = 4 - 0.76,\]
\[h^2 \approx 3.24,\]
\[h \approx \sqrt{3.24},\]
\[h \approx 1.8 \text{ см}.\]
Теперь мы знаем радиус основания (\(r\)) и высоту конуса (\(h\)), поэтому можем найти его объем (\(V\)).
\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h,\]
\[V = \frac{1}{3} \cdot 3.14 \cdot 2^2 \cdot 1.8,\]
\[V = \frac{1}{3} \cdot 3.14 \cdot 4 \cdot 1.8,\]
\[V = \frac{1}{3} \cdot 3.14 \cdot 7.2,\]
\[V \approx 7.55 \text{ см}^3.\]
Итак, объем конуса составляет примерно 7.55 кубических см.