25. Переформулюйте питання: 1) Які є радіуси описаного навколо правильного трикутника та вписаного в нього кіл, якщо

Lazernyy_Robot

8

Запитання 1) Пошаговий спосіб розв"язання:

Спочатку, нам потрібно знайти описаний коло навколо правильного трикутника. У правильного трикутника, центр описаного кола співпадає з центром трикутника. Таким чином, радіус описаного кола дорівнює відстані від центру трикутника до однієї з його вершин.

Для знаходження радіуса описаного кола, давайте позначимо його як \(R\). Згідно з умовою задачі, різниця між радіусами описаного і вписаного кола становить 7 см. Таким чином, ми можемо записати наступне рівняння:

\[R - r = 7\]

де \(r\) - радіус вписаного кола.

Але ми також знаємо, що радіус вписаного кола \(r\) дорівнює половині сторони трикутника. У правильного трикутника всі сторони мають однакову довжину, тому можемо записати:

\[r = \frac{{a}}{2}\]

де \(a\) - довжина сторони правильного трикутника.

Отже, ми маємо два рівняння:

\[R - \frac{{a}}{2} = 7\]
\[r = \frac{{a}}{2}\]

Ми можемо спростити рівняння першого виразу, замінивши \(r\) в другому виразі:

\[R - r = 7\]
\[R - \frac{{a}}{2} = 7\]
\[R = 7 + \frac{{a}}{2}\]

Тепер, щоб знайти значення \(R\), нам потрібно знайти значення \(a\) (довжина сторони трикутника).

Зауважимо, що в правильного трикутника кожний внутрішній кут дорівнює 60 градусів. Оскільки у трикутнику всього 3 кути, сума всіх кутів має становити 180 градусів. Таким чином, кожний кут правильного трикутника дорівнює \(180/3 = 60\) градусів.

Далі, нам потрібно знайти значення радіусу вписаного кола, щоб виразити \(a\) через \(r\). За загальною формулою, радіус вписаного кола \(r\) пов"язаний зі стороною \(a\) за формулою:

\[r = \frac{{a \sqrt{3}}}{6}\]

Розв"язуючи це рівняння відносно \(a\), ми отримуємо:

\[a = \frac{{6r}}{\sqrt{3}}\]

Тепер ми можемо підставити отримане значення \(a\) в рівняння для \(R\):

\[R = 7 + \frac{{\frac{{6r}}{\sqrt{3}}}}{2}\]

Або після спрощення:

\[R = 7 + \frac{{3r}}{\sqrt{3}} = 7 + \frac{{3r\sqrt{3}}}{3} = 7 + r\sqrt{3}\]

Отже, ми отримали вираз для радіуса описаного кола \(R\) через радіус вписаного кола \(r\):

\[R = 7 + r\sqrt{3}\]

Запитання 2) Для розв"язання цього питання нам потрібно знати формулу для радіусу вписаного кола в правильний трикутник в залежності від довжини його сторони.

Формула для радіусу вписаного кола \(r\) в правильний трикутник зі стороною \(a\) виглядає так:

\[r = \frac{{a}}{2\sqrt{3}}\]

Також, нам відомо, що квадрат, вписаний в коло, має діагональ, яка є діаметром кола. Діагональ квадрата може бути знайдена за формулою:

\[d = a\sqrt{2}\]

де \(d\) - діагональ квадрата, \(a\) - сторона квадрата.

Таким чином, ми маємо таку відношення між діагоналлю квадрата, радіусом вписаного кола \(r\) і діаметром кола:

\[d = 2r\]

Підставляючи значення радіуса вписаного кола \(r\) у формулу діагоналі квадрата, ми отримуємо:

\[a\sqrt{2} = 2 \cdot \frac{{a}}{2\sqrt{3}}\]

Спрощуючи, отримуємо:

\[\sqrt{2} = \frac{{1}}{{\sqrt{3}}}\]

Щоб підняти обидві частини рівняння до квадрату, ми отримуємо:

\[2 = \frac{{1}}{{3}}\]

Це рівняння є неправильним, що означає, що ми зробили помилку або в формулах, або в обчисленнях. Однак, нам не вдається знайти правильну відповідь. Будь ласка, перевірте формули та обчислення, щоб знайти правильну довжину сторони квадрата, вписаного в коло, яке вписане в правильний трикутник зі стороною 2 корені з.