256. Каковы длины высот треугольника ABC, если в нем угол между ними равен 60° и длины высот равны 1 дм и

Загадочный_Магнат

26

Дано:
Угол между высотами треугольника ABC равен 60°.
Длины высот равны 1 дм и

Решение:
Для решения этой задачи, нам понадобится использовать свойства треугольника и тригонометрию.

1. Пусть точка H1 - основание одной из высот, а точка H2 - основание другой высоты. Также пусть точка O - центр описанной окружности треугольника ABC.

2. Из свойств треугольника ABC, мы знаем, что любая высота перпендикулярна соответствующей стороне треугольника, и пересекает эту сторону вплотную к ее середине. Поэтому мы можем сказать, что точки H1, O и H2 лежат на одной прямой.

3. Поскольку длина одной высоты равна 1 дм, мы можем представить высоту H1 через длину OH1 и угол между высотами:

H1 = OH1 * sin(60°)

4. Аналогично, представим высоту H2 через длину OH2 и угол между высотами:

H2 = OH2 * sin(60°)

5. Нам также известно, что точка O является центром описанной окружности треугольника ABC. То есть, радиус этой окружности равен радиусу вписанной окружности, который является половиной длины стороны треугольника ABC.

Пусть стороны треугольника ABC равны a, b и c. Тогда мы можем записать следующее равенство:

OH1 = OH2 = R = \(\frac{c}{2}\)

6. Теперь мы можем подставить значение OH1 и OH2 в формулы для H1 и H2 и получить следующее:

H1 = \(\frac{c}{2} * sin(60°)\)

H2 = \(\frac{c}{2} * sin(60°)\)

Так как H1 и H2 равны 1 дм, мы можем записать следующее:

\(\frac{c}{2} * sin(60°) = 1\)

7. Теперь нам нужно решить это уравнение для нахождения значения c. Учитывая, что sin(60°) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), мы можем записать следующее:

\(\frac{c}{2} * \frac{\sqrt{3}}{2} = 1\)

Умножим обе части уравнения на \(\frac{2}{\sqrt{3}}\):

c = \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)

8. Таким образом, мы нашли длину стороны треугольника ABC:

c = \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) дм

9. Чтобы найти длины высот треугольника, мы можем подставить найденное значение c в формулы для H1 и H2:

H1 = \(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{2} * \frac{\sqrt{3}}{2} = 1\) дм

H2 = \(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{2} * \frac{\sqrt{3}}{2} = 1\) дм

Таким образом, длины высот треугольника ABC равны 1 дм.