3.43. Найдите третью сторону и площадь треугольника, если даны две стороны треугольника и угол между ними, в следующих

Шумный_Попугай

36

Конечно! Давайте решим каждый случай по очереди.

1) Дано: одна сторона равна 3 см, другая сторона равна 8 см, угол между ними равен 30°. Нам необходимо найти третью сторону и площадь треугольника.

Для начала, воспользуемся законом косинусов, который гласит:
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos (C)$$
где с - третья сторона, а, b - известные стороны, C - угол между сторонами a и b.

Подставим значения:
$$c^2=3^2+8^2-2\cdot 3\cdot 8\cdot \cos ({30}^{\circ })$$
Рассчитаем это выражение:

$$c^2=9+64-48\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$c^2=73-24\sqrt{3}$$
$$c\approx 0.834\text{см}$$

Теперь, чтобы найти площадь треугольника, можно воспользоваться формулой для площади треугольника по двум сторонам и углу между ними:
$$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin (C)$$

Подставим значения:
$$S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 8\cdot \sin ({30}^{\circ })$$
$$S=1.2{\text{см}}^2$$

Таким образом, третья сторона треугольника равна примерно 0.834 см, а площадь треугольника равна примерно 1.2 см².

2) Дано: одна сторона равна 6 см, другая сторона равна 4 см, угол между ними равен 60°.

Аналогично первому случаю, воспользуемся законом косинусов, чтобы найти третью сторону:
$$c^2=6^2+4^2-2\cdot 6\cdot 4\cdot \cos ({60}^{\circ })$$
Расчет:
$$c^2=36+16-48\cdot \frac{1}{2}$$
$$c^2=52-24$$
$$c\approx 4.899\text{см}$$

А затем, для нахождения площади треугольника, воспользуемся формулой для площади:
$$S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4\cdot \sin ({60}^{\circ })$$
$$S=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$S\approx 10.392{\text{см}}^2$$

Итак, третья сторона треугольника равна примерно 4.899 см, а площадь треугольника примерно равна 10.392 см².

3) Дано: одна сторона равна 4/3 м, другая сторона равна 3/4 м, угол между ними равен 45°.

В этом случае, снова воспользуемся законом косинусов, чтобы найти третью сторону:
$$c^2={\left(\frac{4}{3}\right)}^2+{\left(\frac{3}{4}\right)}^2-2\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{3}{4}\cdot \cos ({45}^{\circ })$$
Расчет:
$$c^2=\frac{16}{9}+\frac{9}{16}-2\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$$
$$c^2=\frac{256}{144}+\frac{81}{144}-\frac{4}{6}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$c^2=\frac{337}{144}-\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$c\approx 1.501\text{м}$$

На последок, для нахождения площади треугольника, снова воспользуемся формулой:
$$S=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{3}{4}\cdot \sin ({45}^{\circ })$$
$$S=\frac{3}{4}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$S\approx 0.530{\text{м}}^2$$

Таким образом, третья сторона треугольника равна примерно 1.501 м, а площадь треугольника примерно равна 0.530 м².

4) Дано: одна сторона равна 0,6 м, другая сторона равна...

Извините, но возможно опечатка в номере задачи. Все предыдущие предоставлены решения и объяснения для каждого случая. Пожалуйста, уточните или предоставьте правильный номер задачи, и я буду рад помочь вам с ней!