3. Имеем функцию =-х^2+5х+2х-2 а) запишите уравнение вертикальной асимптоты. b) Путем выделения целой части, найдите

Загадочный_Лес

52

Данная задача связана с исследованием функции на асимптоты. Для начала, давайте разложим данную функцию на множители, чтобы проще провести всё исследование:
\[f(x) = -x^2 + 5x + 2x - 2 = -x^2 + 7x - 2\]

a) Для нахождения вертикальной асимптоты, мы должны проверить, существуют ли значения, при которых функция стремится к бесконечности по оси "y". Для этого проанализируем возможные разрывы функции. В данном случае, функция является квадратичной, и у неё нет разрывов в рациональных точках, так как значения x являются действительными числами. Также, мы можем заметить, что коэффициент перед \(x^2\) отрицательный, что означает, что график функции открывается вниз. Поэтому у нашей функции нет вертикальной асимптоты.

b) Чтобы найти уравнение наклонной асимптоты, мы должны проанализировать поведение функции на бесконечности. Для этого необходимо выделить целую часть функции. В нашем случае, можем использовать деление синтетическим методом для деления \(f(x)\) на \(x\):
\[
\begin{array}{c|cccc}
& -1 & 7 & -2 \\
\hline
1 & -1 & 6 & 4 \\
\end{array}
\]
Таким образом, имеем \(f(x) = -x + 6 + \frac{4}{x}\)

Учитывая, что \(x\) стремится к бесконечности, величина \(\frac{4}{x}\) стремится к нулю. Таким образом, уравнение наклонной асимптоты имеет вид:
\[y = -x + 6\]

с) Чтобы доказать правильность нахождения уравнения наклонной асимптоты, мы можем использовать понятие предела. Обозначим \(\lim_{x \to \infty} f(x)\) как \(L\), где \(L\) - некоторое число. Если \(L\) существует, то уравнение наклонной асимптоты верно.

Рассмотрим предел функции \(f(x)\) при \(x\) стремящемся к бесконечности:
\[
L = \lim_{x \to \infty} (-x^2 + 7x - 2)
\]

Чтобы продолжить, нам нужно найти наибольшую степень \(x\), которая присутствует в функции \(f(x)\). В данном случае, это \(x^2\). Так как коэффициент перед \(x^2\) отрицательный, а \(x\) стремится к бесконечности, предел будет равен отрицательной бесконечности (\(L = -\infty\)).

Таким образом, мы доказали, что уравнение наклонной асимптоты \(y = -x + 6\) верно.

Надеюсь, это разъясняет задачу и дает полное решение с объяснением каждого шага. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.