3. Какие значения переменной допустимы в выражении (3a - b)/(a - 1) * (b - 2)/(21x/(x + 1) - 3/(x - 1))?

Магический_Самурай

8

3. Для определения допустимых значений переменной в данном выражении, мы должны рассмотреть все условия, которые могут привести к неопределенности или делению на ноль.

Итак, давайте начнем:

Выражение вида \(\frac{{3a - b}}{{a - 1}}\) не имеет ограничений на переменные \(a\) и \(b\), поскольку мы можем выполнять операции сложения и вычитания с любыми значениями \(a\) и \(b\).

Выражение \(\frac{{b - 2}}{{21x/(x + 1) - 3/(x - 1)}}\) имеет следующие ограничения:

1) Знаменатель должен быть отличен от нуля, поэтому мы должны исключить значения переменной \(x\), которые делают выражение \(21x/(x + 1) - 3/(x - 1)\) равным нулю. Чтобы найти такие значения, мы решим уравнение \(21x/(x + 1) - 3/(x - 1) = 0\).

Упрощая это уравнение, получим:

\(\frac{{21x(x - 1) - 3(x + 1)}}{{(x + 1)(x - 1)}} = 0\)

\(\frac{{21x^2 - 21x - 3x - 3}}{{(x + 1)(x - 1)}} = 0\)

\(\frac{{21x^2 - 24x - 3}}{{(x + 1)(x - 1)}} = 0\)

Мы продолжим нахождение корней квадратного уравнения \(21x^2 - 24x - 3 = 0\) и решим его.

Используя квадратное уравнение, получим:

\(x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\)

где \(a = 21\), \(b = -24\), \(c = -3\).

Решая это уравнение, мы получим два значения для \(x\).

\(x_1 \approx -0.43\) и \(x_2 \approx 1.1\)

Это означает, что допустимыми значениями переменной \(x\) в данном выражении являются все действительные числа, за исключением \(-0.43\) и \(1.1\).

Таким образом, после анализа обоих выражений, допустимыми значениями переменной в данном выражении будут все действительные числа, за исключением \(-0.43\) и \(1.1\).

4. Для определения тождественности выражения \(a + \frac{b}{b}\) мы должны рассмотреть значения переменных \(a\) и \(b\), при которых это выражение имеет одинаковое значение, независимо от значений \(x\) и \(y\).

Данное выражение можно упростить следующим образом:

\(a + \frac{b}{b} = a + 1\)

Теперь, чтобы это выражение было тождественным, оно должно иметь одно и то же значение, независимо от значений \(x\) и \(y\). Это означает, что значение \(a + 1\) должно быть постоянным для любых значений \(x\) и \(y\).

Таким образом, тождественность выражения \(a + \frac{b}{b}\) можно установить, если \(a + 1\) является постоянной величиной, то есть значение \(a\) должно быть постоянным, а значение \(b\) любым действительным числом, отличным от нуля.

Аналогично, для определения тождественности выражения \(a \cdot \frac{x(x - 3)}{y(x - 3)}\) мы должны проверить, при каких значениях переменных \(a\), \(x\) и \(y\) это выражение будет иметь одинаковое значение, независимо от значений других переменных.

Данное выражение также можно упростить:

\(a \cdot \frac{x(x - 3)}{y(x - 3)} = \frac{ax(x - 3)}{yx - 3y}\)

Аналогично предыдущему случаю, чтобы это выражение было тождественным, оно должно иметь одно и то же значение, независимо от значений других переменных \(a\), \(x\) и \(y\).

Рассмотрим знаменатель \(yx - 3y\). Чтобы это выражение не было равно нулю (что приведет к неопределенности), мы должны исключить значение \(x\), которое делает \(yx - 3y = 0\). Упрощая это уравнение, получаем:

\(yx - 3y = y(x - 3) = 0\)

Это означает, что значение \(x\) должно быть равным 3, чтобы знаменатель не был равен нулю.

Таким образом, при условии \(x \neq 3\), тождественность выражения \(a \cdot \frac{x(x - 3)}{y(x - 3)}\) можно установить, если \(a\) и \(x\) являются постоянными, а значение \(y\) может быть любым действительным числом, за исключением 0.

5. Основное свойство дроби гласит, что любую дробь можно сократить, если числитель и знаменатель можно разделить на их общий делитель, отличный от нуля.

Данное свойство может быть записано следующим образом:

\(\frac{6x + 24y}{18xy} = \frac{6(x + 4y)}{18xy}\)

Здесь числитель \(6(x + 4y)\) и знаменатель \(18xy\) можно разделить на их общий делитель, равный 6:

\(\frac{6(x + 4y)}{18xy} = \frac{x + 4y}{3xy}\)

Таким образом, основное свойство дроби гласит, что дробь \(\frac{6x + 24y}{18xy}\) можно сократить до \(\frac{x + 4y}{3xy}\), разделив числитель и знаменатель на их общий делитель, отличный от нуля - в данном случае делитель равен 6.

6. Правило об изменении знака дроби гласит, что если знак у числителя и знаменателя дроби изменяется одновременно, то значение дроби остается неизменным.

Рассмотрим выражение \(\frac{ax - 3a}{6a^2 - 3ax} \cdot \frac{x - 2y}{(2y - x)^3}\).

Если мы хотим сократить это выражение, то знак обоих дробей должен измениться одновременно. Мы можем сделать это, меняя знаки числителей и знаменателей дробей. Тогда выражение будет выглядеть так:

\(\frac{-(ax - 3a)}{-(6a^2 - 3ax)} \cdot \frac{-(x - 2y)}{(2y - x)^3}\)

После сокращения получаем:

\(\frac{3a - ax}{3ax - 6a^2} \cdot \frac{2y - x}{(2y - x)^3}\)

Таким образом, правило об изменении знака дроби гласит, что если знак у числителя и знаменателя дроби изменяется одновременно, то значение дроби остается неизменным.