3. Какое будет решение следующего неравенства: 2x-1+2x+3> 17? 4. Как найти область определения функции у = log2(2-5x)?

Валерия

67

3. Решим данное неравенство пошагово:

\[
\begin{align*}
2x - 1 + 2x + 3 &> 17\\
4x + 2 &> 17\\
4x &> 15\\
x &> \frac{15}{4}
\end{align*}
\]

Таким образом, решением данного неравенства будет множество всех x, которые больше \(\frac{15}{4}\) или, в другой форме записи: \(x \in \left(\frac{15}{4}, +\infty\right)\).

4. Чтобы найти область определения функции \(y = \log_2(2-5x)\), нужно выяснить, для каких значений x функция будет определена. В данном случае, основание логарифма равно 2, поэтому основной критерий определения будет равенство основания логарифма нулю:

\[
2-5x > 0
\]

Решим неравенство:

\[
\begin{align*}
2-5x &> 0\\
-5x &> -2\\
x &< \frac{2}{5}
\end{align*}
\]

Таким образом, область определения функции \(y = \log_2(2-5x)\) будет \(x \in \left(-\infty, \frac{2}{5}\right)\).

5. Для решения уравнения \(3\cos^2 x - \sin x - 1 = 0\) нужно использовать замены и тригонометрические тождества. Давайте решим его пошагово:

\[
\begin{align*}
3\cos^2 x - \sin x - 1 &= 0\\
3(1 - \sin^2 x) - \sin x - 1 &= 0 \quad \text{используем тригонометрическую формулу} \cos^2 x = 1 - \sin^2 x\\
3 - 3\sin^2 x - \sin x - 1 &= 0 \quad \text{раскрываем скобки}\\
-3\sin^2 x - \sin x + 2 &= 0 \quad \text{собираем все в одну сторону}\\
3\sin^2 x + \sin x - 2 &= 0 \quad \text{изменим знаки}
\end{align*}
\]

Затем, решим получившееся квадратное уравнение. Результатом будут корни уравнения, которые затем можно записать в виде множества решений.

6. Чтобы найти точки экстремума функции \(y = 4x^3 + 6x^2 - 4\), нужно найти ее производную и найти значения x, при которых производная равна нулю. Пошагово решим:

Найдем производную функции \(y\):

\[
y" = 12x^2 + 12x
\]

Теперь приравняем \(y"\) к нулю и решим уравнение:

\[
12x^2 + 12x = 0
\]

Вынесем общий множитель:

\[
12x(x + 1) = 0
\]

Теперь мы получили два значения x, которые в точности дают нам точки экстремума функции: \(x_1 = 0\) и \(x_2 = -1\). Чтобы найти значения y в этих точках, подставим их обратно в исходную функцию.

8. Для нахождения первообразной функции \(f(x) = \sin x + x\), зная, что ее график проходит через точку \(M(0,3)\), нужно взять антипроизводную каждого слагаемого и добавить постоянную интеграции. Решим пошагово:

Дано: \(f(x) = \sin x + x\)

Найдем первообразную для каждого слагаемого по отдельности:

\[
\int \sin x \, dx = -\cos x + C_1
\]

\[
\int x \, dx = \frac{1}{2}x^2 + C_2
\]

Где \(C_1\) и \(C_2\) - константы интегрирования.

Теперь объединим оба результата и получим искомую первообразную:

\[
\int f(x) \, dx = -\cos x + \frac{1}{2}x^2 + C
\]

Где \(C = C_1 + C_2\) - итоговая константа интегрирования, которая учитывает постоянные обоих интегралов.

9. Чтобы найти длину катета прямоугольного треугольника, если один из острых углов равен 30 градусам, нужно использовать тригонометрические соотношения прямоугольного треугольника. Пошагово решим:

Известно, что один из острых углов равен 30 градусам. Обозначим этот угол за A.

Более того, мы знаем, что синус угла A равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

\(\sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\)

Так как противолежащий катет неизвестен, обозначим его за \(x\).

Также мы знаем, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза в 2 раза больше противолежащего катета. То есть:

\(\text{гипотенуза} = 2x\)

Из тригонометрических соотношений, мы также знаем, что \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\).

Запишем уравнение на основе тригонометрических соотношений:

\(\frac{1}{2} = \frac{x}{2x}\)

Решим уравнение:

\(\frac{1}{2} = \frac{x}{2x}\)

Перекрестно умножим:

\(x = 2x \cdot \frac{1}{2}\)

\(x = x\)

Таким образом, получаем, что длина катета прямоугольного треугольника равна \(x\).

10. Чтобы найти площадь основания конуса, зная его образующую равной 16 см и угол между образующей и плоскостью основания равным 60 градусам, нужно использовать тригонометрические соотношения конуса. Пошагово решим:

Мы знаем, что площадь основания конуса выражается формулой:

\(S = \pi r^2\)

Где \(r\) - радиус основания.

Для нахождения радиуса основания конуса, нужно использовать тригонометрические соотношения.

По определению, образующая конуса - это отрезок, соединяющий вершину конуса и точку основания. Мы знаем, что длина образующей равна 16 см.

Также нам известен угол между образующей и плоскостью основания, который равен 60 градусам.

Тригонометрическое соотношение для радиуса основания выглядит следующим образом:

\(r = \frac{g}{\sqrt{1 + \cos^2 \alpha}}\)

Где \(g\) - длина образующей, а \(\alpha\) - угол между образующей и плоскостью основания.

Подставим известные значения и вычислим радиус:

\(r = \frac{16}{\sqrt{1 + \cos^2 60}} = \frac{16}{\sqrt{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2}}\)

Раскроем скобки и упростим выражение:

\(r = \frac{16}{\sqrt{1 + \frac{1}{4}}} = \frac{16}{\sqrt{\frac{5}{4}}} = \frac{16}{\frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{32}{\sqrt{5}}\)

Таким образом, радиус основания конуса равен \(\frac{32}{\sqrt{5}}\) см.

Наконец, подставим найденное значение радиуса в формулу площади основания конуса:

\(S = \pi \left(\frac{32}{\sqrt{5}}\right)^2 = \pi \frac{32^2}{5} = \frac{1024\pi}{5}\)

Таким образом, площадь основания конуса будет \(\frac{1024\pi}{5}\) квадратных сантиметров.