3. Какое количество целых чисел входит в множество значений функции = 2 cos 3x + 10? 1. Какое наименьшее число

Изумруд

48

3. Чтобы определить количество целых чисел входящих в множество значений функции \(y = 2\cos(3x) + 10\), нужно проанализировать значения этой функции при различных значениях переменной \(x\). Для этого заметим, что функция \(2\cos(3x)\) принимает значения от -2 до 2, так как косинусное значение находится в интервале от -1 до 1, а затем добавляется 10. Таким образом, множество значений функции \(y = 2\cos(3x) + 10\) содержит все целые числа от 8 до 12 включительно.

1. Чтобы найти наименьшее число в области значений функции \(y = 0.5\sin\left(\frac{x}{3}\right) - 2\), необходимо рассмотреть значения этой функции при различных значениях переменной \(x\). Заметим, что функция \(\sin\left(\frac{x}{3}\right)\) принимает значения от -1 до 1, так как синусное значение находится в интервале от -1 до 1, а затем умножается на 0.5 и вычитается 2. Таким образом, наименьшее число в области значений функции \(y = 0.5\sin\left(\frac{x}{3}\right) - 2\) равно -2.5.

5. Чтобы определить количество целых чисел входящих в область значений функции \(y = 12\cos(3x) + 5\sin(3x)\), рассмотрим значения этой функции при различных значениях переменной \(x\). Заметим, что функция \(12\cos(3x)\) принимает значения от -12 до 12, так как косинусное значение находится в интервале от -1 до 1, а затем умножается на 12. Аналогично, функция \(5\sin(3x)\) принимает значения от -5 до 5, так как синусное значение находится в интервале от -1 до 1, а затем умножается на 5. Таким образом, область значений функции \(y = 12\cos(3x) + 5\sin(3x)\) содержит все целые числа от -17 до 17 включительно.

6. Чтобы найти наибольшее значение функции \(y = 4\sqrt{15} - \sin(x)\) на промежутке \(\left[\frac{13\pi}{4}, \frac{7\pi}{2}\right]\), нужно найти наибольшее значение каждого слагаемого в выражении. Заметим, что значение \(\sin(x)\) находится в интервале от -1 до 1. Таким образом, наибольшее значение этой функции достигается при \(\sin(x) = -1\), в этом случае значение выражения будет равно \(4\sqrt{15} + 1\).

7. Чтобы найти наименьшее число в области значений функции \(y = 5\tan^2(x) + 2\), нужно рассмотреть значения этой функции при различных значениях переменной \(x\). Заметим, что функция \(\tan^2(x)\) принимает значения больше или равные нулю, так как квадрат тангенса неотрицательный. Следовательно, наименьшее значение функции \(y = 5\tan^2(x) + 2\) равно 2.

8. Чтобы найти целые значения \(a\), при которых уравнение \(\sin(3x - 4) + 5 = a\) имеет решение, рассмотрим возможные значения \(\sin(3x - 4)\). Заметим, что значение синуса находится в интервале от -1 до 1. Если мы вычтем 5 из этого интервала, то получим интервал от -6 до -4. Следовательно, чтобы уравнение имело решение, необходимо, чтобы \(a\) было больше или равно -6 и меньше или равно -4. Таким образом, возможные значения целого \(a\) являются числами от -6 до -4 включительно, а их сумма равна \(-6 + (-5) + (-4) = -15\).