Сколько участников приняло участие в настольном теннисном турнире, если каждый игрок сыграл по одному матчу со всеми

Картофельный_Волк

40

Чтобы решить данную задачу, необходимо использовать комбинаторику и принцип умножения.

Для начала, давайте определимся с тем, что каждый игрок сыграл по одному матчу со всеми другими игроками. Для этого нужно знать, сколько всего матчей было сыграно в турнире.

Давайте представим себе, что в турнире участвует \(n\) игроков. Тогда первый игрок сыграет \((n-1)\) матч, второй игрок - \((n-1)\) матч, третий игрок - \((n-1)\) матч и так далее. В итоге, общее количество матчей будет равно сумме количеств матчей, сыгранных каждым игроком.

Таким образом, общее количество матчей равно \((n-1) + (n-1) + (n-1) + ... + (n-1)\), где сумма состоит из \(n\) слагаемых.

Давайте посчитаем эту сумму. Сумма состоит из \(n\) одинаковых слагаемых \((n - 1)\). Мы можем упростить эту сумму, учитывая свойство линейности суммы:

\((n - 1) + (n - 1) + (n - 1) + ... + (n - 1) = n \cdot (n - 1)\)

То есть, сумма равна произведению количества слагаемых на значение каждого слагаемого.

Теперь, когда мы знаем, что общее количество матчей равно \(n \cdot (n - 1)\), нам нужно найти значение \(n\).

Согласно условию задачи, каждый игрок сыграл по одному матчу со всеми другими игроками, что означает, что общее количество матчей равно количеству сочетаний из \(n\) по 2 (так как каждый матч играют два игрока).

Теперь нам нужно найти значение \(n\) из равенства:

\(n \cdot (n - 1) = C_{n}^{2}\)

Распишем сочетание из \(n\) по 2 по определению:

\(C_{n}^{2} = \frac{n!}{2!(n - 2)!}\)

Таким образом, у нас есть уравнение:

\(n \cdot (n - 1) = \frac{n!}{2!(n - 2)!}\)

Чтобы решить это уравнение, упростим его сначала, приведя все слагаемые к общему знаменателю:

\(n \cdot (n - 1) = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2)!}{2! \cdot (n - 2)!}\)

Теперь уберем общие множители:

\(1 = \frac{n}{2!}\)

Так как факториал 2 равен 2, мы можем записать уравнение в более простой форме:

\(1 = \frac{n}{2}\)

Умножим обе стороны уравнения на 2:

\(2 = n\)

Таким образом, мы нашли ответ: в настольном теннисном турнире приняло участие 2 участника.