3. Какое значение имеет скалярное произведение векторов, если длины векторов m и n равны 2 и 3 соответственно, а угол

Murka

8

1. Скалярное произведение векторов определяется как произведение модулей векторов на косинус угла между ними.
Для данной задачи, если длины векторов m и n равны 2 и 3 соответственно, а угол между ними равен 120°, мы можем использовать формулу скалярного произведения:

\[ a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos(\theta) \]

Подставляя известные значения, получаем:

\[ m \cdot n = 2 \cdot 3 \cdot \cos(120^\circ) \]

Так как косинус 120° равен -0.5, мы можем вычислить значение скалярного произведения:

\[ m \cdot n = 2 \cdot 3 \cdot (-0.5) = -3 \]

Таким образом, значение скалярного произведения векторов равно -3.

2.
а) Чтобы проверить, перпендикулярны ли прямые CM и DN, мы можем использовать условие перпендикулярности, которое гласит: если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.

Для проверки, найдем вектора CM и DN. Вектор CM можно выразить как разность координат векторов C и M:

\[ \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{M} \]
\[ \overrightarrow{CM} = (3, -2, 1) - (2, 1, 3) \]
\[ \overrightarrow{CM} = (1, -3, -2) \]

Вектор DN можно выразить как разность координат векторов D и N:

\[ \overrightarrow{DN} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{N} \]
\[ \overrightarrow{DN} = (-1, 2, 1) - (-1, 4, -2) \]
\[ \overrightarrow{DN} = (0, -2, 3) \]

Теперь найдем их скалярное произведение:

\[ \overrightarrow{CM} \cdot \overrightarrow{DN} = (1, -3, -2) \cdot (0, -2, 3) \]
\[ \overrightarrow{CM} \cdot \overrightarrow{DN} = 1 \cdot 0 + (-3) \cdot (-2) + (-2) \cdot 3 \]
\[ \overrightarrow{CM} \cdot \overrightarrow{DN} = 0 + 6 - 6 \]
\[ \overrightarrow{CM} \cdot \overrightarrow{DN} = 0 \]

Таким образом, скалярное произведение векторов CM и DN равно нулю, следовательно, прямые CM и DN перпендикулярны.

б) Чтобы найти длину вектора \(p = \frac{1}{2} \overrightarrow{CD} - 2 \overrightarrow{MN}\), мы сначала найдем векторы \( \overrightarrow{CD} \) и \( \overrightarrow{MN} \).

Вектор \( \overrightarrow{CD} \) можно найти, взяв разность координат точек C и D:

\[ \overrightarrow{CD} = (3, -2, 1) - (-1, 2, 1) \]
\[ \overrightarrow{CD} = (4, -4, 0) \]

Вектор \( \overrightarrow{MN} \) можно найти, взяв разность координат точек M и N:

\[ \overrightarrow{MN} = (2, 1, 3) - (-1, 4, -2) \]
\[ \overrightarrow{MN} = (3, -3, 5) \]

Теперь можем найти вектор p:

\[ \overrightarrow{p} = \frac{1}{2} \overrightarrow{CD} - 2 \overrightarrow{MN} \]
\[ \overrightarrow{p} = \frac{1}{2} (4, -4, 0) - 2(3, -3, 5) \]
\[ \overrightarrow{p} = (2, -2, 0) - (6, -6, 10) \]
\[ \overrightarrow{p} = (-4, 4, -10) \]

Наконец, чтобы найти длину вектора p, мы используем формулу:

\[ |p| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + (-10)^2} \]
\[ |p| = \sqrt{16 + 16 + 100} \]
\[ |p| = \sqrt{132} \]
\[ |p| \approx 11.49 \]

Таким образом, длина вектора p равна примерно 11.49.

в) Уравнение плоскости имеет вид \(Ax + By + Cz + D = 0\), где A, B, C - это коэффициенты перед переменными x, y, z соответственно, а D - свободный член. Чтобы проверить, является ли уравнение \(21x + 11y - 6z - 35 = 0\) уравнением плоскости CMN, мы должны убедиться, что точка M (2, 1, 3) лежит на этой плоскости. Подставим координаты точки M в уравнение и проверим:

Левая часть уравнения:
\[ 21 \cdot 2 + 11 \cdot 1 - 6 \cdot 3 - 35 = 42 + 11 - 18 - 35 = 0 \]

Правая часть уравнения:
\[ 0 \]

Как видно, левая и правая части уравнения равны нулю, следовательно, уравнение \(21x + 11y - 6z - 35 = 0\) является уравнением плоскости CMN.

г) Чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через точку C и перпендикулярной вектору CM, мы используем следующую формулу:

\[ A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \]

где (x_0, y_0, z_0) - координаты точки C, а (A, B, C) - компоненты вектора CM.

Подставим известные значения:

\[ A(x - 3) + B(y + 2) + C(z - 1) = 0 \]

Здесь (A, B, C) = (1, -3, -2), а (x_0, y_0, z_0) = (3, -2, 1), поэтому получаем:

\[ (x - 3) - 3(y + 2) - 2(z - 1) = 0 \]

Раскроем скобки:

\[ x - 3 - 3y - 6 - 2z + 2 = 0 \]

\[ x - 3y - 2z - 7 = 0 \]

Итак, уравнение плоскости, проходящей через точку С и перпендикулярной вектору CM, имеет вид \(x - 3y - 2z - 7 = 0\).

3.

Чтобы найти угол, образуемый в пространстве, рассмотрим векторы DM и DC. Вектор DM можно найти, взяв разность координат точек D и M:

\[ \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{M} \]
\[ \overrightarrow{DM} = (-1, 2, 1) - (0, 1, 3) \]
\[ \overrightarrow{DM} = (-1, 1, -2) \]

Вектор DC можно найти, взяв разность координат точек D и C:

\[ \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{C} \]
\[ \overrightarrow{DC} = (-1, 2, 1) - (3, -2, 1) \]
\[ \overrightarrow{DC} = (-4, 4, 0) \]

Затем найдем скалярное произведение векторов DM и DC:

\[ \overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{DC} = (-1, 1, -2) \cdot (-4, 4, 0) \]
\[ \overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{DC} = (-1) \cdot (-4) + 1 \cdot 4 + (-2) \cdot 0 \]
\[ \overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{DC} = 4 + 4 + 0 \]
\[ \overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{DC} = 8 \]

Длина вектора DM:

\[ |\overrightarrow{DM}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-2)^2} \]
\[ |\overrightarrow{DM}| = \sqrt{1 + 1 + 4} \]
\[ |\overrightarrow{DM}| = \sqrt{6} \]

Длина вектора DC:

\[ |\overrightarrow{DC}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + 0^2} \]
\[ |\overrightarrow{DC}| = \sqrt{16 + 16 + 0} \]
\[ |\overrightarrow{DC}| = \sqrt{32} \]
\[ |\overrightarrow{DC}| = 4\sqrt{2} \]

Теперь применим формулу для нахождения угла между векторами:

\[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{DC}}{|\overrightarrow{DM}| \cdot |\overrightarrow{DC}|} \]
\[ \cos(\theta) = \frac{8}{\sqrt{6} \cdot 4\sqrt{2}} \]
\[ \cos(\theta) = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6} \cdot 4\sqrt{2}} \]
\[ \cos(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} \]

Отсюда получаем значение угла:

\[ \theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}\right) \]
\[ \theta \approx 43.6^\circ \]

Таким образом, угол между отрезком DM и осью, на которой лежит сторона DD1, составляет примерно 43.6 градусов.