3°. Какова длина наименьшей стороны треугольника, если его наибольшая сторона равна 2, а один из углов равен 30°

Грей

19

Задача 3°. Дано: наибольшая сторона треугольника равна 2, один из углов равен 30°, и сумма градусных мер двух углов равна градусной мере третьего угла.

Для решения данной задачи, мы можем использовать свойства треугольника.

Пусть сторона треугольника соответствующая углу 30° будет обозначена как \(a\).
Также, пусть сторона треугольника соответствующая градусной мере третьего угла будет обозначена как \(b\).

Мы знаем, что сумма градусных мер трех углов треугольника всегда равна 180°. Таким образом, градусная мера третьего угла равна:

\[
180° - 30° - угол1°
\]
\[
= 150° - угол1°
\]

Также, у нас есть условие, что сумма градусных мер двух углов равна градусной мере третьего угла. Поэтому, мы можем записать уравнение:

\[
угол1° + 30° = 150° - угол1°
\]

Решая это уравнение, мы находим, что \(угол1° = 60\). Таким образом, градусная мера третьего угла равна 90°.

После определения градусных мер трех углов, мы можем использовать закон синусов, чтобы найти длину наименьшей стороны треугольника.

Закон синусов утверждает, что отношение каждой стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла одинаково:

\[
\frac{a}{\sin(30°)} = \frac{2}{\sin(90°)} = \frac{b}{\sin(60°)}
\]

Сокращая и решая это уравнение, мы получаем:

\[
b = \frac{\sin(60°)}{\sin(30°)} \cdot a
\]

Так как нас интересует наименьшая сторона треугольника, мы можем найти наименьшее возможное значение стороны \(b\), подставив данное значение длины наибольшей стороны \(2\) и решив уравнение:

\[
b = \frac{\sin(60°)}{\sin(30°)} \cdot 2
\]

Вычисляя это, мы получаем:

\[
b \approx 3.464
\]

Таким образом, наименьшая сторона треугольника равна примерно \(3.464\).

Ответ: Длина наименьшей стороны треугольника примерно равна \(3.464\).