Какова длина высоты, проведенной к более длинной стороне треугольника, если известно, что длины сторон треугольника

Magnitnyy_Lovec

51

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся свойством треугольника, согласно которому высота, проведенная к стороне, делит треугольник на два прямоугольных треугольника. Также мы можем использовать теорему Пифагора, которая устанавливает, что для прямоугольного треугольника с катетами a и b и гипотенузой c выполняется соотношение: \(a^2 + b^2 = c^2\).

По условию задачи, известно, что одна сторона треугольника равняется 21 см, а другая сторона равняется 10 см. Высота, проведенная к более короткой стороне, равна 12 см. Давайте запишем данную информацию:
AB = 21 см (более длинная сторона)
BC = 10 см (более короткая сторона)
BE = 12 см (высота, проведенная к более короткой стороне)

Перед тем как продолжить, нарисуем треугольник ABH.

Теперь, когда у нас есть рисунок, обратимся к геометрическим свойствам прямоугольных треугольников. Заметим, что треугольники ABH и BCH являются прямоугольными треугольниками, так как высота, проведенная к стороне, делит треугольник на два прямоугольных треугольника.

Сначала посмотрим на треугольник ABH. У него гипотенуза — это сторона треугольника AB, которая равна 21 см. Высота BH — это та длина, которую мы и хотим найти. Катет AH равен 12 см (эта длина дана в условии). Мы можем применить теорему Пифагора для этого треугольника:
\[AH^2 + BH^2 = AB^2\]
\[12^2 + BH^2 = 21^2\]
\[144 + BH^2 = 441\]
\[BH^2 = 297\]
\[BH = \sqrt{297}\]
\[BH \approx 17.23\]

Теперь посмотрим на треугольник BCH. Известно, что BC равно 10 см, а BE (высота, проведенная к стороне BC) также равна 12 см (дано в условии). Заметим, что катеты BC и BE треугольника BCH являются катетами треугольника ABH. Значит, треугольники ABH и BCH подобны, так как у них соответствующие стороны пропорциональны. Таким образом, мы можем использовать пропорцию для нахождения BH:
\[\frac{AH}{AB} = \frac{BE}{BC}\]
\[\frac{12}{21} = \frac{12}{10}\]
\[\frac{12}{21} = \frac{12}{10}\]
\[\frac{2}{7} = \frac{12}{10}\]
\[2*10 = 12*7\]
\[20 = 84\]

Выходит несоответствие в пропорции, поэтому мы не можем использовать треугольник BCH для решения задачи.

Итак, длина высоты, проведенной к более длинной стороне треугольника ABH, равна приблизительно 17.23 см.