3. Определить интервалы возрастания и убывания функции. Найти точки экстремума. Функция f(x) =x3 +4х2-37​

Вечерний_Туман

4

Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции, а также точки экстремума, нам необходимо найти производную функции и найти значения x, при которых производная равна нулю или неопределена.

Итак, начнем с вычисления производной функции \( f(x) = x^3 + 4x^2 - 37 \). Для этого возьмем производные каждого слагаемого и сложим их:

\[ f"(x) = \frac{d}{dx} (x^3) + \frac{d}{dx} (4x^2) - \frac{d}{dx} (37) \]

Вычислим производные каждого слагаемого:

\[ f"(x) = 3x^2 + 8x \]

Теперь найдем значения x, при которых производная равна нулю:

\[ 3x^2 + 8x = 0 \]

Факторизуем это выражение:

\[ x(3x + 8) = 0 \]

Таким образом, получаем два значения x: x = 0 и x = -8/3.

Теперь, чтобы определить интервалы возрастания и убывания функции, нужно проверить значения производной в каждом из этих интервалов.

Представим что мы построили числовую прямую и разделим ее на три интервала: (-∞, -8/3), (-8/3, 0), (0, +∞).

Для первого интервала (-∞, -8/3) возьмем произвольное значение x, например, x = -10. Подставим это значение в производную функции:

\[ f"(-10) = 3(-10)^2 + 8(-10) = 300 - 80 = 220 \]

Так как значение производной положительно на интервале (-∞, -8/3), это означает, что функция возрастает на этом интервале.

Для второго интервала (-8/3, 0) возьмем произвольное значение x, например, x = -1. Подставим это значение в производную функции:

\[ f"(-1) = 3(-1)^2 + 8(-1) = 3 - 8 = -5 \]

Так как значение производной отрицательно на интервале (-8/3, 0), это означает, что функция убывает на этом интервале.

Для третьего интервала (0, +∞) возьмем произвольное значение x, например, x = 10. Подставим это значение в производную функции:

\[ f"(10) = 3(10)^2 + 8(10) = 300 + 80 = 380 \]

Так как значение производной положительно на интервале (0, +∞), это означает, что функция возрастает на этом интервале.

Следовательно, мы можем сделать следующие выводы:

- Функция возрастает на интервале (-∞, -8/3) и (0, +∞).
- Функция убывает на интервале (-8/3, 0).

Чтобы найти точки экстремума, нужно решить уравнение f"(x) = 0:

\[ 3x^2 + 8x = 0 \]

Факторизуем это выражение:

\[ x(3x + 8) = 0 \]

Таким образом, получаем две точки экстремума: x = 0 и x = -8/3.

Подставляя эти значения в исходную функцию \( f(x) = x^3 + 4x^2 - 37 \), мы получаем:

\[ f(0) = 0^3 + 4(0)^2 - 37 = -37 \]

\[ f(-8/3) = \left( \frac{-8}{3} \right)^3 + 4 \left( \frac{-8}{3} \right)^2 - 37 \]

Теперь, для получения окончательного ответа, убедимся, что наши результаты точны.

Итак, значения функции при x = 0 и x = -8/3:

\[ f(0) = -37 \]

\[ f(-8/3) = -\frac{685}{27} \]

Таким образом, точки экстремума функции \( f(x) = x^3 + 4x^2 - 37 \) равны (0, -37) и \(-\frac{8}{3}, -\frac{685}{27}\).