3. Які висоти призми відповідають наступним значенням діагоналі: А) 9 см; Б) 18 см; В) 12 см; Г) 63 см?

Ветерок

48

Давайте решим задачу по порядку.

Задача 3:
Для решения этой задачи нам понадобится формула для вычисления высоты призмы. Формула имеет вид:

\[H = \frac{{2V}}{{S_0}}\]

где \(H\) - высота призмы, \(V\) - объем призмы и \(S_0\) - площадь основания.

Так как призма является прямоугольной, значение объема и площади основания можно выразить через длину диагонали и высоту.

Мы знаем, что площадь основания прямоугольной призмы равна произведению длин его сторон (площади прямоугольника), т.е.

\[S_0 = a \cdot b\]

где \(a\) и \(b\) - стороны основания призмы.

Кроме того, значение объема призмы можно выразить через длину диагонали, высоту и площадь основания:

\[V = S_0 \cdot H\]

Теперь решим каждую из задач:

А) Длина диагонали: 9 см

Мы знаем только длину диагонали, поэтому нам нужно будет найти значения высоты призмы. Давайте выразим площадь основания через длину диагонали.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой, которая является диагональю прямоугольника, и катетами, которые являются сторонами прямоугольника, верно следующее соотношение:

\[d^2 = a^2 + b^2\]

где \(d\) - длина диагонали, \(a\) и \(b\) - стороны прямоугольника.

Зная, что сторона \(a = b = x\) (так как прямоугольник - квадрат), подставим эти значения в уравнение:

\[d^2 = x^2 + x^2\]

\[d^2 = 2x^2\]

\[x^2 = \frac{{d^2}}{{2}}\]

\[x = \sqrt{\frac{{d^2}}{{2}}}\]

Теперь, найдем площадь основания, подставив найденное значение стороны:

\[S_0 = x \cdot x = x^2\]

Так как у нас квадратное основание, то его площадь равна \(S_0 = x^2\).

Подставим найденное значение площади и объема в формулу для высоты призмы:

\[H = \frac{{2V}}{{S_0}} = \frac{{2 \cdot S_0 \cdot H}}{{S_0}} = 2H\]

То есть, для любого значения площади основания, высота призмы будет равна половине значения площади основания.

Получаем, что высота призмы будет равна \(9 \, \text{см} \, / \, 2 = 4.5 \, \text{см}\).

Ответ: А) 4.5 см

Б) Длина диагонали: 18 см

Проделаем те же шаги, что и в предыдущей задаче.

Найдем стороны основания:

\[x = \sqrt{\frac{{d^2}}{{2}}} = \sqrt{\frac{{18^2}}{{2}}} = \sqrt{\frac{{324}}{{2}}} = \sqrt{{162}}\]

\[S_0 = x \cdot x = \sqrt{{162}} \cdot \sqrt{{162}} = 162\]

Подставим найденные значения в формулу для высоты:

\[H = \frac{{2V}}{{S_0}} = \frac{{2 \cdot S_0 \cdot H}}{{S_0}} = 2H\]

Высота призмы будет равна половине значения площади основания, т.е. \(H = \frac{{162}}{{2}} = 81\).

Ответ: Б) 81 см

В) Длина диагонали: 12 см

Аналогично проделаем вычисления:

\[x = \sqrt{\frac{{d^2}}{{2}}} = \sqrt{\frac{{12^2}}{{2}}} = \sqrt{\frac{{144}}{{2}}} = \sqrt{{72}}\]

\[S_0 = x \cdot x = \sqrt{{72}} \cdot \sqrt{{72}} = 72\]

\[H = \frac{{2V}}{{S_0}} = \frac{{2 \cdot S_0}}{{S_0}} = 2\]

Ответ: В) 2 см

Г) Длина диагонали: 63 см

Проделаем такие же вычисления:

\[x = \sqrt{\frac{{d^2}}{{2}}} = \sqrt{\frac{{63^2}}{{2}}} = \sqrt{\frac{{3969}}{{2}}} = \sqrt{{1984.5}}\]

\[S_0 = x \cdot x = \sqrt{{1984.5}} \cdot \sqrt{{1984.5}} = 1984.5\]

\[H = \frac{{2V}}{{S_0}} = \frac{{2 \cdot S_0 \cdot H}}{{S_0}} = 2H\]

Высота призмы будет равна половине значения площади основания, т.е. \(H = \frac{{1984.5}}{{2}} = 992.25\).

Ответ: Г) 992.25 см

Задача 4:
Для решения этой задачи нам также понадобятся формулы для вычисления высоты призмы и площади основания.

Задача говорит о том, что у нас есть правильная четырехугольная призма. Такие призмы имеют квадратное основание и равные боковые грани.

Мы знаем, что сторона основания прямоугольной призмы равна 6 см, а диагональ основания - 10 см.

Для нахождения высоты призмы, мы можем применить ту же формулу:

\[H = \frac{{2V}}{{S_0}}\]

Для нахождения площади основания нужно знать длину стороны. В данном случае, сторона основания равна 6 см.

Теперь найдем объем призмы.

Объем призмы для правильной четырехугольной призмы можно выразить через сторону основания и высоту:

\[V = S_0 \cdot H\]

Зная значение объема и сторону основания, мы можем найти высоту призмы.

Также задача говорит о наличии боковой грани призмы, которая является четырехугольником. Зная, что сторона основания квадрата равна 6 см, а диагональ основания равна 10 см, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины стороны четырехугольника.

\[d^2 = a^2 + b^2\]

\[10^2 = 6^2 + b^2\]

\[100 = 36 + b^2\]

\[b^2 = 64\]

\[b = \sqrt{64} = 8\]

Теперь мы знаем длину стороны боковой грани.

Давайте теперь решим задачу:

А) Длина стороны боковой грани: 4 см

Нет варианта ответа, соответствующего данному условию. Следовательно, ответ не существует для этого варианта.

Б) Длина стороны боковой грани: 2/2 см (я думаю, здесь опечатка, и имелось в виду 2√2 см)

Аналогично вычислим:

\[d^2 = a^2 + b^2\]

\[10^2 = 6^2 + b^2\]

\[100 = 36 + b^2\]

\[b^2 = 64\]

\[b = \sqrt{64} = 8\]

Аналогично для четырехугольника с боковой стороной длиной 2sqrt(2) см:

\[d^2 = (2 \sqrt{2})^2 + b^2\]

\[100 = 8 + b^2\]

\[b^2 = 92\]

\[b = \sqrt{92}\]

Значение \(b\) не равно длине стороны боковой грани. Таким образом, данный вариант ответа также неверен.

В) Длина стороны боковой грани: 8 см

Подставим значение \(b\) в формулу для площади основания:

\[S_0 = a \cdot b = 6 \cdot 8 = 48\]

Теперь найдем объем призмы:

\[V = S_0 \cdot H = 48 \cdot H\]

Подставим найденные значения площади основания и объема в формулу для высоты призмы:

\[H = \frac{{2V}}{{S_0}} = \frac{{2 \cdot 48 \cdot H}}{{48}} = 2H\]

Высота призмы будет равна половине значения площади основания, т.е. \(H = \frac{{48}}{{2}} = 24\).

Ответ: В) 24 см

Г) Диагональ боковой грани: 43 см

Аналогично вычислим:

\[d^2 = a^2 + b^2\]

\[10^2 = 6^2 + b^2\]

\[100 = 36 + b^2\]

\[b^2 = 64\]

\[b = \sqrt{64} = 8\]

Аналогично для четырехугольника с боковой стороной длиной 43 см:

\[d^2 = 43^2 = (2 \sqrt{2})^2 + b^2\]

\[43^2 = 8 + b^2\]

\[b^2 = 1849 - 8 = 1841\]

\[b = \sqrt{1841}\]

Значение \(b\) не равно длине стороны боковой грани. Таким образом, данный вариант ответа также неверен.

Следовательно, ответ не существует для этого варианта.

Ответ: г) Ответ отсутствует

Задача 5:
Для решения этой задачи также нам понадобится формула для вычисления площади поверхности призмы.

Мы знаем, что боковые грани призмы представляют собой квадраты со стороной, равной диагонали. Также задача говорит о том, что диагональ этих квадратов равна 8 см.

Для нахождения площади боковой поверхности призмы нужно знать длину стороны квадрата. В данном случае сторона равна диагонали.

Теперь решим задачу:

А) Площадь боковой поверхности: 32 см

Рассмотрим формулу для площади боковой поверхности правильной трикутной призмы:

\[S_{\text{бок}} = 4a^2\]

где \(S_{\text{бок}}\) - площадь боковой поверхности призмы, \(a\) - длина стороны боковой грани.

Подставим известные значения в формулу:

\[32 = 4a^2\]

\[a^2 = \frac{32}{4} = 8\]

\[a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\]

Таким образом, длина стороны боковой грани равна \(2\sqrt{2}\) см.

Ответ: А) \(2\sqrt{2}\) см

Б) Площадь боковой поверхности: 96 см²

Подставим известные значения в формулу для площади боковой поверхности:

\[96 = 4a^2\]

\[a^2 = \frac{96}{4} = 24\]

\[a = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\]

Таким образом, длина стороны боковой грани равна \(2\sqrt{6}\) см.

Ответ: Б) \(2\sqrt{6}\) см