30б Зная, что f(r)=r^5/2, найдите значение f(1/9). Затем найдите наименьшее и наибольшее значения функции степени

Zolotoy_Korol

36

Задача: 30б
Для начала найдем значение функции \(f\) при \(r = \frac{1}{9}\).
Мы знаем, что \(f(r) = r^{\frac{5}{2}}\), поэтому подставим \(r = \frac{1}{9}\) в данное выражение:
\[f\left(\frac{1}{9}\right) = \left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{5}{2}}\]

Чтобы упростить это выражение, воспользуемся формулой \(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\):
\[f\left(\frac{1}{9}\right) = \frac{1^{\frac{5}{2}}}{9^{\frac{5}{2}}}\]

Теперь заметим, что \(1^{\frac{5}{2}} = 1\), а \(9^{\frac{5}{2}} = (3^2)^{\frac{5}{2}} = 3^5\):
\[f\left(\frac{1}{9}\right) = \frac{1}{3^5}\]

Выполнив численные вычисления, получим следующий ответ:
\[f\left(\frac{1}{9}\right) = \frac{1}{243}\]

Теперь перейдем ко второй части задачи, где нам нужно найти наименьшее и наибольшее значения функции \(y = x^{\frac{3}{2}}\) на полуинтервале \((8; 9]\).

Для начала подставим в выражение для \(y\) граничные значения полуинтервала:
\[y_{min} = 8^{\frac{3}{2}}\]
\[y_{max} = 9^{\frac{3}{2}}\]

Теперь упростим данные выражения, воспользовавшись формулой \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\):
\[y_{min} = \sqrt{\left(8^3\right)}\]
\[y_{max} = \sqrt{\left(9^3\right)}\]

Произведем численные вычисления:
\[y_{min} = \sqrt{512} = 16\]
\[y_{max} = \sqrt{729} = 27\]

Итак, на полуинтервале \((8; 9]\), наименьшее значение функции \(y = x^{\frac{3}{2}}\) равно 16, а наибольшее значение равно 27.

Ответ: \(f\left(\frac{1}{9}\right) = \frac{1}{243}\), наименьшее значение функции \(y = x^{\frac{3}{2}}\) на полуинтервале (8; 9] равно 16, а наибольшее значение равно 27.