30б Зная, что f(r)=r^5/2, найдите значение f(1/9). Затем найдите наименьшее и наибольшее значения функции степени

Zolotoy_Korol

36

Задача: 30б
Для начала найдем значение функции $f$ при $r=\frac{1}{9}$.
Мы знаем, что $f(r)=r^{\frac{5}{2}}$, поэтому подставим $r=\frac{1}{9}$ в данное выражение:
$$f\left(\frac{1}{9}\right)={\left(\frac{1}{9}\right)}^{\frac{5}{2}}$$

Чтобы упростить это выражение, воспользуемся формулой ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$:
$$f\left(\frac{1}{9}\right)=\frac{1^{\frac{5}{2}}}{9^{\frac{5}{2}}}$$

Теперь заметим, что $1^{\frac{5}{2}}=1$, а $9^{\frac{5}{2}}=(3^2{)}^{\frac{5}{2}}=3^5$:
$$f\left(\frac{1}{9}\right)=\frac{1}{3^5}$$

Выполнив численные вычисления, получим следующий ответ:
$$f\left(\frac{1}{9}\right)=\frac{1}{243}$$

Теперь перейдем ко второй части задачи, где нам нужно найти наименьшее и наибольшее значения функции $y=x^{\frac{3}{2}}$ на полуинтервале $(8;9]$.

Для начала подставим в выражение для $y$ граничные значения полуинтервала:
$$y_{min}=8^{\frac{3}{2}}$$
$$y_{max}=9^{\frac{3}{2}}$$

Теперь упростим данные выражения, воспользовавшись формулой $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$:
$$y_{min}=\sqrt{\left(8^3\right)}$$
$$y_{max}=\sqrt{\left(9^3\right)}$$

Произведем численные вычисления:
$$y_{min}=\sqrt{512}=16$$
$$y_{max}=\sqrt{729}=27$$

Итак, на полуинтервале $(8;9]$, наименьшее значение функции $y=x^{\frac{3}{2}}$ равно 16, а наибольшее значение равно 27.

Ответ: $f\left(\frac{1}{9}\right)=\frac{1}{243}$, наименьшее значение функции $y=x^{\frac{3}{2}}$ на полуинтервале (8; 9] равно 16, а наибольшее значение равно 27.