Какова сумма корней уравнения 2cos(x)cos(180∘-x)=sin(270+x) на интервале (0∘, 360∘)?

Yakorica

32

Давайте решим данную задачу пошагово.

1. Начнем с преобразования уравнения. Используя тригонометрические тождества, заменим cos(180∘-x) и sin(270+x):

cos(180∘-x) = -cos(x)
sin(270+x) = cos(x)

Получим новое уравнение: 2cos(x)(-cos(x)) = cos(x)

2. Упростим выражение в уравнении:

-2cos^2(x) = cos(x)

3. Перенесем все слагаемые в одну сторону:

2cos^2(x) + cos(x) = 0

4. Факторизуем полученное квадратное уравнение:

cos(x)(2cos(x) + 1) = 0

5. Найдем значения x, для которых один из множителей равен нулю:

cos(x) = 0 или 2cos(x) + 1 = 0

6. Решим первое уравнение cos(x) = 0 на интервале (0∘, 360∘). Здесь корни уравнения соответствуют углам, при которых cos(x) равен нулю. Известно, что cos(x) равен нулю при x = 90∘ и x = 270∘.

7. Решим второе уравнение 2cos(x) + 1 = 0:

2cos(x) + 1 = 0
2cos(x) = -1
cos(x) = -1/2

Находим углы, при которых cos(x) равен -1/2. Эти углы можно найти, используя таблицу значений тригонометрических функций или зная особые значения cos(x) (например, x = 60∘ и x = 300∘).

8. Итак, мы нашли следующие значения x: 90∘, 270∘, 60∘ и 300∘, соответствующие корням уравнения.

Теперь найдем сумму этих корней:

Сумма корней = 90∘ + 270∘ + 60∘ + 300∘ = 720∘

Однако, по условию задачи интервал ограничен от 0∘ до 360∘. Поэтому найдем остаток от деления суммы на 360∘:

Остаток от деления 720∘ на 360∘ равен 0∘.

Таким образом, сумма корней уравнения на интервале (0∘, 360∘) равна 0∘.

Вот и все! Мы получили ответ на задачу. Сумма корней уравнения 2cos(x)cos(180∘-x)=sin(270+x) на интервале (0∘, 360∘) равна 0∘.