311. What is the magnitude of the tension force in the string and the magnitude of the force with which the sphere acts

Ящерка

70

Мы имеем сферу радиусом \( R \), на которой находится маленький шарик массой \( m \). Шарик подвешен к сфере при помощи невесомой нити длиной \( l \). Точка подвеса находится над верхней точкой сферы на расстоянии \( d \) от нее.

На задаче представлена сила натяжения \( T \), с которой нить действует на шарик, и сила \( F \), с которой шарик действует на сферу. Нам нужно найти величину этих сил.

Для начала найдем вес шарика, который равен \( P = mg \), где \( g \) - ускорение свободного падения.

Так как шарик находится в состоянии покоя на поверхности сферы, сумма сил, действующих на него по горизонтали, должна быть равна нулю. Это означает, что натяжение нити компенсирует силу тяжести шарика в этом направлении.

По горизонтали:
\[ T \cdot \sin \alpha = mg \cdot \cos \beta \]

где \( \alpha \) - угол между нитью и вертикальной осью, а \( \beta \) - угол между радиусом сферы и вертикальной осью.

Теперь рассмотрим силы, действующие на шарик по вертикали. Вертикальная составляющая натяжения нити должна компенсировать вертикальную составляющую силы тяжести.

По вертикали:
\[ T \cdot \cos \alpha = mg \cdot \sin \beta \]

Мы также можем выразить \( \sin \beta \) и \( \cos \beta \) через радиус сферы и расстояние \( d \).

\[ \sin \beta = \frac{R}{R+d} \]
\[ \cos \beta = \frac{d}{R+d} \]

Подставим эти значения в уравнения для горизонтальной и вертикальной составляющих:

\[ T \cdot \sin \alpha = mg \cdot \cos \beta \]
\[ T \cdot \cos \alpha = mg \cdot \sin \beta \]

Теперь мы можем найти величину каждой силы \( T \) и \( F \).

Величина натяжения нити \( T \) равна:
\[ T = \frac{mg \cdot \cos \beta}{\sin \alpha} \]

Величина силы \( F \) равна:
\[ F = T \cdot \cos \alpha = \frac{(mg \cdot \cos \beta)^2}{\sin \alpha} \]

Таким образом, мы нашли величину натяжения нити \( T \) и силы \( F \), с которой шарик действует на сферу.