4) Какую работу совершает результирующий момент внешних сил над вращающимся телом за время от t1 до t2, если тело

Ян

43

Для решения этой задачи нам понадобятся основные понятия механики и законы сохранения. Давайте разберемся пошагово.

1. Сначала нам нужно определить момент инерции вращающегося диска относительно оси, проходящей через его центр масс. Момент инерции обозначается символом \(I\) и вычисляется по формуле \(I = \frac{1}{2} m r^2\), где \(m\) - масса диска, а \(r\) - радиус диска. В данной задаче масса диска \(m\) равна 300 г (или 0.3 кг), а радиус \(r\) равен 10 см (или 0.1 м), поэтому момент инерции \(I\) можно рассчитать следующим образом:

\[I = \frac{1}{2} \cdot 0.3 \cdot (0.1)^2 = 0.003 \ кг \cdot м^2\]

2. Далее, нам необходимо вычислить угловую скорость \(\omega\) вращающегося диска в момент времени \(t_1\) и в момент времени \(t_2\). Угловая скорость связана с угловым смещением \(\varphi\) следующим соотношением: \(\omega = \frac{d\varphi}{dt}\), где \(\frac{d\varphi}{dt}\) обозначает производную от \(\varphi\) по \(t\).

В данной задаче угловое смещение \(\varphi\) задано формулой \(\varphi = at^2 + b + ct^3\), а значения \(a\), \(b\) и \(c\) равны соответственно -1, 5 и 6.

Для вычисления угловой скорости находим производную от \(\varphi\) по \(t\):

\[\frac{d\varphi}{dt} = 2at + 3ct^2\]

Теперь можем найти угловую скорость \(\omega\) в момент времени \(t_1\) и \(t_2\), подставив значения \(t_1\) и \(t_2\) в выражение для \(\frac{d\varphi}{dt}\):

\[\omega_1 = \frac{d\varphi}{dt} \bigg|_{t=t_1} = 2a t_1 + 3c t_1^2\]
\[\omega_2 = \frac{d\varphi}{dt} \bigg|_{t=t_2} = 2a t_2 + 3c t_2^2\]

3. Итак, мы знаем угловую скорость в момент времени \(t_1\) и \(t_2\). Теперь нам нужно найти работу результирующего момента внешних сил над вращающимся диском за время от \(t_1\) до \(t_2\). Работа \(A\) определяется по формуле \(A = \Delta E_k\), где \(\Delta E_k\) - изменение кинетической энергии системы.

В нашем случае, изменение кинетической энергии равно изменению кинетической энергии вращающегося диска, которая выражается формулой \(\Delta E_k = \frac{1}{2} I(\omega_2^2 - \omega_1^2)\).

Теперь можем подставить значения \(I\), \(\omega_1\) и \(\omega_2\) в формулу для \(\Delta E_k\):

\[\Delta E_k = \frac{1}{2} \cdot 0.003 \cdot (\omega_2^2 - \omega_1^2)\]

4. Результирующий момент внешних сил равен работе \(A\) за время от \(t_1\) до \(t_2\). Таким образом, работа результирующего момента внешних сил над вращающимся диском за это время равна:

\[A = \Delta E_k = \frac{1}{2} \cdot 0.003 \cdot (\omega_2^2 - \omega_1^2)\]

5. Для нашего практического примера, давайте рассчитаем численное значение работы результирующего момента внешних сил. Допустим, \(t_1 = 1\) секунда, а \(t_2 = 2\) секунды.

Сначала найдем значения \(\omega_1\) и \(\omega_2\) подставив \(t_1 = 1\) и \(t_2 = 2\) в выражения для \(\omega_1\) и \(\omega_2\):

\[\omega_1 = 2a t_1 + 3c t_1^2 = 2(-1)(1) - 3(6)(1)^2 = -2 - 18 = -20 \ рад/с\]
\[\omega_2 = 2a t_2 + 3c t_2^2 = 2(-1)(2) - 3(6)(2)^2 = -4 - 72 = -76 \ рад/с\]

Теперь, используя полученные значения, можем рассчитать работу результирующего момента внешних сил за время от \(t_1 = 1\) секунды до \(t_2 = 2\) секунд:

\[A = \frac{1}{2} \cdot 0.003 \cdot (\omega_2^2 - \omega_1^2) = \frac{1}{2} \cdot 0.003 \cdot ((-76)^2 - (-20)^2) = \frac{1}{2} \cdot 0.003 \cdot (5776 - 400) = \frac{1}{2} \cdot 0.003 \cdot 5376 = 8.064 \cdot 10^{-3} \ Дж\]

Таким образом, работа результирующего момента внешних сил над вращающимся диском за время от \(t_1 = 1\) секунды до \(t_2 = 2\) секунд составляет \(8.064 \cdot 10^{-3}\) Дж (джоулей).