4. KLMN – является параллелограммом. Определите длины отрезков MN и KN, а также периметр, если K имеет координаты

Таинственный_Рыцарь

61

Для решения данной задачи нам понадобится использовать формулы для расчета расстояния между двумя точками и периметра параллелограмма. Давайте начнем.

Шаг 1: Найдем длины отрезков MN и KN.
Для нахождения расстояния между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\), используем формулу расстояния между точками:
\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

Для отрезка MN:
\(M(5, 7)\) и \(N(x, y)\)

Давайте заменим значения координат и найдем длину отрезка MN.

\[d_{MN} = \sqrt{{(x - 5)^2 + (y - 7)^2}}\]

Теперь у нас есть недостающие значения координат, а именно координаты точки N. Чтобы найти N, мы можем воспользоваться свойством параллелограмма, которое гласит, что противоположные стороны параллелограмма равны по длине.

Поскольку KL является диагональю параллелограмма, она соединяет две противоположные вершины. Таким образом, расстояние между точками K и L равно расстоянию между точками M и N.

Подставим значения координат точек K(4, 1) и L(6, 5) в формулу расстояния между точками:

\[d_{KL} = \sqrt{{(6 - 4)^2 + (5 - 1)^2}}\]

Мы получили длину отрезка KL. Теперь, зная, что KL = MN, мы можем найти координаты точки N.

\[d_{MN} = d_{KL}\]
\[\sqrt{{(x - 5)^2 + (y - 7)^2}} = \sqrt{{(6 - 4)^2 + (5 - 1)^2}}\]

Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы устранить корень:

\[(x - 5)^2 + (y - 7)^2 = (6 - 4)^2 + (5 - 1)^2\]

\[(x - 5)^2 + (y - 7)^2 = 2^2 + 4^2\]
\[(x - 5)^2 + (y - 7)^2 = 4 + 16\]
\[(x - 5)^2 + (y - 7)^2 = 20\]

Таким образом, мы получили уравнение окружности, которая проходит через точку M(5, 7) и имеет радиус \(\sqrt{{20}}\).

Шаг 2: Найдем длину отрезка KN.
Поскольку K является вершиной параллелограмма, а KL является диагональю, то KN будет равен половине диагонали KL.

\[d_{KN} = \frac{{d_{KL}}}{2}\]

Подставим значение \(d_{KL}\), которое мы рассчитали на первом шаге.

\[d_{KN} = \frac{{\sqrt{{(6 - 4)^2 + (5 - 1)^2}}}}{2}\]

Вычисляем значение \(d_{KN}\) и получаем длину отрезка KN.

Шаг 3: Найдем периметр параллелограмма.
Периметр параллелограмма вычисляется путем сложения длин его сторон.

Длина стороны KL равна длине отрезка KL, которую мы уже рассчитали.

\[d_{KL} = \sqrt{{(6 - 4)^2 + (5 - 1)^2}}\]

Мы знаем, что стороны параллелограмма параллельны и одинаковы по длине. Таким образом, периметр параллелограмма равен удвоенной длине стороны.

\[P = 2 \times d_{KL}\]

Теперь мы можем подставить значение \(d_{KL}\), которое мы уже рассчитали, и вычислить периметр.

Округлите все полученные значения до нужной точности, чтобы получить итоговый ответ.

Подытожим:
Длина отрезка MN: \(d_{MN}\) (подставьте рассчитанное значение)
Длина отрезка KN: \(d_{KN}\) (подставьте рассчитанное значение)
Периметр параллелограмма: P (подставьте рассчитанное значение)

Надеюсь, это помогло вам решить задачу!