Какова длина стороны основания треугольной пирамиды в случае, когда боковое ребро образует угол 45° с плоскостью

Якорь

1

Хорошо, давайте рассмотрим задачу подробно. Мы хотим найти длину стороны основания треугольной пирамиды, когда боковое ребро образует угол 45° с плоскостью основания и высота пирамиды равна \(h\). Давайте обозначим длину стороны основания треугольника как \(a\).

Используем геометрические свойства треугольной пирамиды. Если мы представим треугольную пирамиду в виде вертикальной сечки, то основанием будет равнобедренный треугольник.
\(\ / \)
\/
p-Q
| \
| \
h | \
| \
-------
a

Заметим, что \(Q\) -- вершина пирамиды, а \(p\) -- проекция точки \(Q\) на плоскость основания треугольника. Так как \(Q\) -- вершина пирамиды, то угол между боковым ребром и \(\overline{pQ}\) равен 90°. Также, по условию задачи, угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°. Из этих двух условий следует, что треугольник \(pQb\) является прямоугольным и равнобедренным, где \(b\) -- середина стороны основания.

Так как треугольник \(pQb\) равнобедренный, то у него две равные стороны. Пусть \(x\) -- длина бокового ребра. Тогда длина основания треугольника \(a = 2b\).

Чтобы найти длину стороны основания \(a\), нам нужно найти длину бокового ребра \(x\) и длину половины стороны основания \(b\).

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике \(pQb\) мы можем записать следующее уравнение:
\[(2b)^2 = h^2 + x^2.\]

Так как треугольник \(pQb\) равнобедренный, то с помощью свойств равнобедренного треугольника мы можем найти длину высоты пирамиды \(h\):
\[h = \frac{x}{\sqrt{2}}.\]

Подставляя значение высоты пирамиды \(h\) в уравнение Пифагора, получаем:
\[(2b)^2 = \left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)^2 + x^2.\]

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем:
\[4b^2 = \frac{x^2}{2} + x^2.\]

Упрощаем выражение, умножая все члены на 2:
\[8b^2 = x^2 + 2x^2.\]

Объединяя подобные члены, получаем:
\[8b^2 = 3x^2.\]

Делим обе части уравнения на 8:
\[b^2 = \frac{3x^2}{8}.\]

Далее, извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти значение \(b\):
\[b = \sqrt{\frac{3x^2}{8}} = \frac{x}{2\sqrt{2}}.\]

Теперь у нас есть значение \(b\), но нам нужно найти значение \(a\). Подставляем найденное значение \(b\) в уравнение для \(a\):
\[a = 2b = 2 \cdot \frac{x}{2\sqrt{2}} = \frac{x}{\sqrt{2}}.\]

Таким образом, мы выяснили, что длина стороны основания треугольной пирамиды равна \(\frac{x}{\sqrt{2}}\).