1. (4.1.) Призма ABCDA1B1C1D1 имеет правильное четырехугольное основание ABCD, которое является квадратом. Точка
1. (4.1.) Призма ABCDA1B1C1D1 имеет правильное четырехугольное основание ABCD, которое является квадратом. Точка M является центром боковой грани BCC1B1. а) Докажите, что плоскость A1D1M делит диагональ AC1 в пропорции 2:1, начиная с точки A. б) Найдите расстояние от точки M до прямой BD1, если сторона основания призмы равна 6, а боковое ребро равно 3.
2. (4.10.) Призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1 имеет правильный шестиугольник ABCDEF в качестве основания, с центром в точке O. Отрезок OA1 является высотой призмы. а) Докажите, что плоскость FF1E перпендикулярна плоскости основания призмы. б) Найдите расстояние от точки A до плоскости BCC1, если
2. (4.10.) Призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1 имеет правильный шестиугольник ABCDEF в качестве основания, с центром в точке O. Отрезок OA1 является высотой призмы. а) Докажите, что плоскость FF1E перпендикулярна плоскости основания призмы. б) Найдите расстояние от точки A до плоскости BCC1, если
Skvoz_Volny 61
а) Для доказательства первой части задачи, нам нужно показать, что плоскость A1D1M делит диагональ AC1 в пропорции 2:1, начиная с точки A.Поскольку основание ABCD является квадратом, диагонали AC и BD являются взаимно перпендикулярными и делят друг друга пополам.
Пусть точка X - точка пересечения плоскости A1D1M и диагонали AC1. Мы должны показать, что AX:XC1 = 2:1.
Обратимся к треугольникам AMX и C1MX. Они имеют общую сторону MX и угол AMX (M является центром боковой грани BCC1B1, поэтому M находится на равном расстоянии от BC и C1B1).
Также, так как A1D1M является плоскостью, она перпендикулярна прямым MBC1 и AMX, значит, углы AMX и C1MX являются прямыми углами.
Теперь рассмотрим соответствующие стороны AM и C1M. Так как сторона основания призмы равна 6, а боковое ребро равно 3, то сторона AM равна половине основания 6/2 = 3. Сторона C1M также равна 3 из-за симметрии фигуры.
Из равенства сторон AM и C1M следует, что треугольники AMX и C1MX подобны. Значит, отношение AX к XC1 равно отношению AM к C1M, то есть 2:1. Это и доказывает, что плоскость A1D1M делит диагональ AC1 в пропорции 2:1, начиная с точки A.
б) Чтобы найти расстояние от точки M до прямой BD1, мы можем использовать теорему о расстоянии между точкой и прямой.
Поскольку основание ABCD является квадратом, боковые грани AB и CD являются параллельными и равными. Значит, прямая BD1 является высотой призмы и перпендикулярна основанию ABCD.
Таким образом, расстояние от точки M до прямой BD1 равно расстоянию от точки M до плоскости ABCD.
Поскольку M является центром боковой грани BCC1B1, он находится на равном расстоянии от BC и C1B1. Расстояние от точки M до BC равно половине бокового ребра, то есть 3/2. Аналогично, расстояние от точки M до C1B1 также равно 3/2.
Таким образом, мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника MBC1, чтобы найти расстояние от точки M до плоскости ABCD:
\([MC1]^2 = [MB]^2 + [BC1]^2\)
\([MC1]^2 = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{6}{2}\right)^2\)
\([MC1]^2 = \dfrac{9}{4} + \dfrac{36}{4}\)
\([MC1]^2 = \dfrac{45}{4}\)
Таким образом, расстояние от точки M до прямой BD1 равно \(\sqrt{\dfrac{45}{4}} = \dfrac{3\sqrt{5}}{2}\).