№ 4 Прямая b является пересечением плоскостей β и γ и на ней расположены точки E и F. Отрезки EC и ED перпендикулярны

Busya

30

Для решения данной задачи нам понадобятся знания о векторах и их свойствах. Давайте пошагово рассмотрим решение.

1. Пусть \(\vec{n_1}\) и \(\vec{n_2}\) - нормальные векторы плоскостей \(\beta\) и \(\gamma\) соответственно.

2. Так как прямая \(b\) является пересечением плоскостей \(\beta\) и \(\gamma\), то она должна быть перпендикулярна нормальным векторам этих плоскостей. Следовательно, вектор, коллинеарный прямой \(b\), будет перпендикулярен и \(\vec{n_1}\), и \(\vec{n_2}\). Обозначим этот вектор как \(\vec{b}\).

3. Так как отрезки \(EC\) и \(ED\) перпендикулярны прямой \(b\), то они также перпендикулярны \(\vec{n_1}\) и \(\vec{n_2}\) соответственно.

4. Известны длины отрезков \(EF = 15\), \(CF = 39\), \(DF = 17\) и \(CD = 40\).

5. Мы можем использовать векторное равенство \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alpha\), где \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) - вектора, \(\cdot\) - скалярное произведение, \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) - длины векторов, \(\alpha\) - угол между векторами.

6. Применим это равенство к векторам \(\vec{n_1}\) и \(\vec{n_2}\), чтобы найти угол \(\alpha\). Мы знаем, что \(\vec{n_1}\) перпендикулярен \(\vec{b}\) и \(\vec{n_2}\) перпендикулярен \(\vec{b}\), поэтому

\[
\vec{n_1} \cdot \vec{b} = |\vec{n_1}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alpha = 0
\]
\[
\vec{n_2} \cdot \vec{b} = |\vec{n_2}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alpha = 0
\]

7. Обозначим длину вектора \(\vec{b}\) как \(|\vec{b}| = x\). Тогда выражения для \(\cos \alpha\) примут вид:

\[
|\vec{n_1}| \cdot x \cdot \cos \alpha = 0
\]
\[
|\vec{n_2}| \cdot x \cdot \cos \alpha = 0
\]

8. Разрешим эти уравнения относительно \(\cos \alpha\):

\[
\cos \alpha = \frac{0}{|\vec{n_1}| \cdot x} = 0
\]
\[
\cos \alpha = \frac{0}{|\vec{n_2}| \cdot x} = 0
\]

9. Таким образом, угол \(\alpha\) между плоскостями \(\beta\) и \(\gamma\) равен 0.

10. Для нахождения \(3\cos \alpha\) подставим значение \(\cos \alpha = 0\) в выражение:

\[
3 \cos \alpha = 3 \cdot 0 = 0
\]

Ответ: \(3\cos \alpha = 0\). Угол \(\alpha\) между плоскостями \(\beta\) и \(\gamma\) равен 0.