Какова площадь прямоугольника АВСD, если диагонали пересекаются в точке О, а расстояние от нее до сторон прямоугольника

Morskoy_Iskatel

10

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться свойством прямоугольника с пересекающимися диагоналями.

Пусть AC и BD - диагонали прямоугольника ABCD, а точка пересечения диагоналей обозначена как O.

Согласно свойству прямоугольника с пересекающимися диагоналями, мы можем сказать, что диагонали делят прямоугольник на 4 равные треугольника. То есть, треугольники AOB, BOC, COD и DOA имеют одинаковую площадь.

Поскольку они имеют одинаковую площадь, мы можем найти площадь одного из них (например, площадь треугольника AOB) и умножить ее на 4, чтобы найти площадь всего прямоугольника ABCD.

Для начала, нам необходимо найти высоту треугольника AOB. Опустим перпендикуляр из точки O на сторону AB и обозначим его длину как h. Нам известно, что h = 10 см.

Затем мы можем использовать теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике AOB, чтобы найти длину его основания AB. Так как AB - это сторона прямоугольника, мы можем выразить ее через h.

\(\displaystyle AB = \sqrt{h^2 + (OA - OB)^2}\)

Так как расстояние от точки О до стороны прямоугольника составляет 14 см, мы можем записать:

\(\displaystyle AB = \sqrt{10^2 + 14^2}\)

\(\displaystyle AB = \sqrt{100 + 196}\)

\(\displaystyle AB = \sqrt{296}\)

\(\displaystyle AB \approx 17.20\)

Теперь, зная высоту и основание треугольника AOB, мы можем найти его площадь, используя формулу для площади прямоугольного треугольника:

\(\displaystyle S = \frac{1}{2} \times AB \times h\)

\(\displaystyle S = \frac{1}{2} \times 17.20 \times 10\)

\(\displaystyle S = 86 \, \text{см}^2\)

Так как площадь треугольников AOB, BOC, COD и DOA одинакова, площадь прямоугольника ABCD будет равна:

\(\displaystyle S_{ABCD} = 4 \times S\)

\(\displaystyle S_{ABCD} = 4 \times 86 \, \text{см}^2\)

\(\displaystyle S_{ABCD} = 344 \, \text{см}^2\)

Таким образом, площадь прямоугольника ABCD составляет 344 квадратных сантиметра.