5.6*. Якою є відстань до зорі Вега (α Ліри) у парсеках і світлових роках, знаючи, що її річний паралакс становить 0,12

Грей

27

5.6*. Для розрахунку відстані до зорі Вега (α Ліри) у парсеках і світлових роках можна скористатися формулою:

\[ D = \frac{1}{p} \]

де \( D \) - відстань до зорі у парсеках, \( p \) - паралакс зорі в парсеках.

Річний паралакс Веги становить 0,12". Щоб перевести його у відстань у парсеках, використовуємо наступний перетворення:

\[ 1" = \frac{1}{3600}° = \frac{1}{3600} \cdot \frac{\pi}{180} \text{ rad} \]

Отже,

\[ D = \frac{1}{p} = \frac{1}{0,12" \cdot \left( \frac{1}{3600} \cdot \frac{\pi}{180} \right)} \approx \frac{1}{0,12 \cdot \frac{1}{3600} \cdot \frac{\pi}{180}} \approx \frac{3600 \cdot 180}{0,12 \pi} \]

Підставимо числові значення:

\[ D \approx \frac{3600 \cdot 180}{0,12 \cdot \pi} \approx \frac{648000}{0,12 \cdot \pi} \approx \frac{5400000}{\pi} \text{ парсек} \]

Тепер переведемо відстань у світлових роках. Оскільки один парсек дорівнює приблизно 3,26 світлових років, отримаємо:

\[ D_{\text{свлр}} = D \cdot 3,26 \approx \frac{5400000}{\pi} \cdot 3,26 \approx \frac{17544000}{\pi} \text{ свлр} \]

Отже, відстань до зорі Вега (α Ліри) становить приблизно \(\frac{17544000}{\pi}\) світлових років або \(\frac{5400000}{\pi}\) парсеків.

5.7*. Для визначення, в у скільки разів зоря Капелла (0m) яскравіша за зорю Полярну (+2m), достатньо використати формулу:

\[ m_1 - m_2 = -2.5 \log_{10}{\left(\frac{I_1}{I_2}\right)} \]

де \( m_1 \) і \( m_2 \) - зоряні величини зорі Капелла і зорі Полярна відповідно, \( I_1 \) і \( I_2 \) - їхні яскравості.

Замінюючи дані у формулу, отримаємо:

\[ 0 - (+2) = -2.5 \log_{10}{\left(\frac{I_1}{I_2}\right)} \]

\[ -2 = -2.5 \log_{10}{\left(\frac{I_1}{I_2}\right)} \]

Далі, розв"язати отримане рівняння щодо \(\frac{I_1}{I_2}\) і виразити в у скільки разів одна зоря яскравіша від іншої.

\( \log_{10}{\left(\frac{I_1}{I_2}\right)} = \frac{-2}{-2.5} \)

\( \log_{10}{\left(\frac{I_1}{I_2}\right)} = 0.8 \)

\( \frac{I_1}{I_2} = 10^{0.8} \)

Отже, \(\frac{I_1}{I_2} \approx 6.31\).

Це означає, що зоря Капелла є приблизно 6.31 рази яскравіше за зорю Полярну.

5.8*. Для визначення, скільки зір 5-ї зоряної величини мають таку саму яскравість, як зоря Вега (0m), ми можемо скористатися фактом, що зоряна величина \( m \) залежить від яскравості \( I \) за формулою:

\[ m = -2.5 \log_{10}{I} + C \]

де \( C \) - певна константа.

Таким чином, для зорі 5-ї зоряної величини:

\[ 5 = -2.5 \log_{10}{I} + C \]

\[ \log_{10}{I} = \frac{5 - C}{-2.5} \]

Отже, яскравість зорі 5-ї зоряної величини \( I \) виражається виразом \( I = 10^{\frac{5 - C}{-2.5}} \).

Для зорі Вега, зоряна величина дорівнює 0. Підставимо це значення у формулу:

\[ 0 = -2.5 \log_{10}{I_{\text{Вега}}} + C \]

\[ \log_{10}{I_{\text{Вега}}} = \frac{0 - C}{-2.5} \]

\[ \log_{10}{I_{\text{Вега}}} = \frac{C}{2.5} \]

\[ I_{\text{Вега}} = 10^{\frac{C}{2.5}} \]

Отже, нам потрібно знайти кількість зір 5-ї зоряної величини, у яких яскравість \( I \) рівна \( I_{\text{Вега}} \):

\[ \text{Кількість зір} = ? \]

Яскравість зорі Вега виражена формулою \( I_{\text{Вега}} = 10^{\frac{C}{2.5}} \), а яскравість зорі 5-ї зоряної величини виражена формулою \( I = 10^{\frac{5 - C}{-2.5}} \). Отже, ми шукаємо кількість значень \( C \), для яких обидві формули дають однакові результати:

\[ I = I_{\text{Вега}} \]

\[ 10^{\frac{5 - C}{-2.5}} = 10^{\frac{C}{2.5}} \]

\[ \frac{5 - C}{-2.5} = \frac{C}{2.5} \]

\[ 5 - C = C \]

\[ 2C = 5 \]

\[ C = \frac{5}{2} \]

Отже, ми знайшли значення \( C \). Тепер ми можемо обчислити кількість зір 5-ї зоряної величини, які мають таку саму яскравість, як зоря Вега:

\[ \text{Кількість зір} = ? \]

І тут чомусь виникає суперечка: округлити значення \( C \) вниз або орієнтуватися на безкінечну кількість зір. Як вам більше подобається?