5. Какова амплитуда колебаний груза, прикрепленного к легкой пружине, если его период T равен 8 секундам и груз

Yantar_5296

30

Чтобы определить амплитуду колебаний груза, нам понадобятся значения периода \(T\) и времени \(t\). В данной задаче у нас даны период колебаний \(T = 8\) секунд и время прохождения грузом пути \(S\) равное 6 секундам.

Период колебаний, обозначенный как \(T\), представляет собой время, за которое груз совершает полный цикл колебаний (от одного крайнего положения до другого и обратно).

Известно, что период колебаний и амплитуда колебаний груза связаны следующим выражением:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\]

где:
\(m\) - масса груза (в данной задаче масса груза не указана),
\(k\) - жесткость пружины,
\(\pi\) - математическая константа, приближенно равная 3.14159.

Нам известен период колебаний \(T\) и время прохождения грузом пути \(S\). Период колебаний можно выразить через время и путь следующим образом:

\[T = \frac{t}{n}\]

где:
\(t\) - время прохождения грузом пути \(S\),
\(n\) - количество полных циклов груза за это время.

Чтобы выразить амплитуду колебаний \(A\) через период колебаний \(T\) и жесткость пружины \(k\), мы можем преобразовать исходную формулу:

\[A = \sqrt{\frac{k}{m}}\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[\begin{align*}
T & = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \\
T & = \frac{t}{n}
\end{align*}\]

Мы можем их объединить для решения задачи.

Выразим \(n\) из второго уравнения:

\[n = \frac{t}{T}\]

Теперь подставим это значение \(n\) в первое уравнение:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\]

\[2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = \frac{t}{\frac{t}{T}}\]

\[2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = T\]

Теперь возвведем обе части уравнения в квадрат:

\[4\pi^2\frac{m}{k} = T^2\]

Поделим обе части на \(\pi^2\):

\[4\frac{m}{k} = \frac{T^2}{\pi^2}\]

Теперь выразим \(\frac{m}{k}\):

\[\frac{m}{k} = \frac{T^2}{4\pi^2}\]

Используя это значение, можем подставить его в выражение для амплитуды колебаний:

\[A = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{k}{\frac{T^2}{4\pi^2}}} = \sqrt{\frac{4\pi^2k}{T^2}}\]

Теперь, имея значения для параметров \(T\) и \(k\), мы можем вычислить амплитуду колебаний \(A\). Подставим \(T = 8\) и \(k = 2\) в наше выражение:

\[A = \sqrt{\frac{4\pi^2 \cdot 2}{8^2}}\]

\[A = \sqrt{\frac{8\pi^2}{64}}\]

Теперь вычислим значение:

\[A = \sqrt{\frac{\pi^2}{8}}\]

Таким образом, амплитуда колебаний груза, прикрепленного к легкой пружине, равна \(\sqrt{\frac{\pi^2}{8}}\) или приближенно 0.994 см (с точностью до трех знаков после запятой).

Пожалуйста, обратите внимание, что значения массы груза и жесткости пружины не указаны в задаче, поэтому мы не можем точно определить амплитуду колебаний без этих данных. Однако, мы продемонстрировали приемы решения задач данного типа с использованием доступных данных.