5. Найдите значения углов в следующих парах прямых на кубе abcda1b1c1d1: а) ab1 и cc1. б) ав1 и cd1; в) ав1 и da1

Lyalya

53

Хорошо! Давайте решим задачу по поиску значений углов в парах прямых на кубе \(abcda_1b_1c_1d_1\).

а) Найдем значения углов между прямыми \(ab_1\) и \(cc_1\). Обратите внимание, что эти прямые не пересекаются и не являются параллельными. В данном случае, углы между прямыми определяются как углы между их направляющими векторами. Найдем вектора, которые задают данные прямые:

Вектор направления прямой \(ab_1\) = конечная точка прямой \(b_1\) - начальная точка прямой \(a\) = \(\overrightarrow{ab_1} = (b_1 - a)\)

Вектор направления прямой \(cc_1\) = конечная точка прямой \(c_1\) - начальная точка прямой \(c\) = \(\overrightarrow{cc_1} = (c_1 - c)\)

Угол между векторами можно найти с помощью скалярного произведения:

\(\cos(\theta) = \frac{{\overrightarrow{ab_1} \cdot \overrightarrow{cc_1}}}{{\|\overrightarrow{ab_1}\| \|\overrightarrow{cc_1}\|}}\)

где \(\theta\) - искомый угол, \(\overrightarrow{ab_1} \cdot \overrightarrow{cc_1}\) - скалярное произведение векторов, \(\|\overrightarrow{ab_1}\|\) и \(\|\overrightarrow{cc_1}\|\) - длины векторов.

Дальше нам потребуется найти значения координат точек. Предположим, что точка \(a\) имеет координаты \((x_a, y_a, z_a)\), точка \(b_1\) - \((x_{b1}, y_{b1}, z_{b1})\), точка \(c\) - \((x_c, y_c, z_c)\), и точка \(c_1\) - \((x_{c1}, y_{c1}, z_{c1})\).

Тогда можем найти векторы направления прямых:

\(\overrightarrow{ab_1} = (x_{b1} - x_a, y_{b1} - y_a, z_{b1} - z_a)\)

\(\overrightarrow{cc_1} = (x_{c1} - x_c, y_{c1} - y_c, z_{c1} - z_c)\)

Затем найдем длины векторов:

\(\|\overrightarrow{ab_1}\| = \sqrt{(x_{b1} - x_a)^2 + (y_{b1} - y_a)^2 + (z_{b1} - z_a)^2}\)

\(\|\overrightarrow{cc_1}\| = \sqrt{(x_{c1} - x_c)^2 + (y_{c1} - y_c)^2 + (z_{c1} - z_c)^2}\)

Далее подставляем полученные значения в формулу:

\(\cos(\theta) = \frac{{(x_{b1} - x_a)(x_{c1} - x_c) + (y_{b1} - y_a)(y_{c1} - y_c) + (z_{b1} - z_a)(z_{c1} - z_c)}}{{\sqrt{(x_{b1} - x_a)^2 + (y_{b1} - y_a)^2 + (z_{b1} - z_a)^2} \sqrt{(x_{c1} - x_c)^2 + (y_{c1} - y_c)^2 + (z_{c1} - z_c)^2}}}\)

Таким образом, мы получим значение угла между прямыми \(ab_1\) и \(cc_1\).

б), в), г), д), е) Для каждой из этих частей задачи требуется найти значения углов между соответствующими прямыми на кубе. Подход и решение для этих случаев аналогичны первому пункту. Вам потребуется определить точки и векторы направления для каждой пары прямых и использовать ту же формулу для нахождения угла между векторами.

Надеюсь, это решение поможет вам понять, как найти значения углов в заданных парах прямых на кубе.