565. Во сколько раз сопротивление полупроводника меньше, чем у металла, если концентрация свободных электронов

Dobryy_Lis_6018

70

Для решения данной задачи нам нужно сравнить сопротивления металла и полупроводника, исходя из данных о концентрации свободных электронов.

Сопротивление проводника зависит от его сопротивления в единице объема и его геометрических размеров. Для данной задачи мы предполагаем, что геометрические размеры проволок, сделанных из этих материалов, одинаковы.

Сопротивление проводника можно выразить через его удельное сопротивление и его длину формулой:

\[ R = \rho \cdot \frac{l}{S} \]

где \( R \) - сопротивление проводника, \( \rho \) - удельное сопротивление проводника, \( l \) - длина проводника, \( S \) - площадь поперечного сечения проводника.

Очевидно, что площадь поперечного сечения проводников одинакова, так как мы предполагаем, что проволоки сделаны из одинакового материала и имеют одинаковые геометрические размеры.

Теперь, чтобы найти отношение сопротивлений металла и полупроводника, нам нужно сравнить их удельные сопротивления. Для этого воспользуемся известной формулой:

\[ \rho = \frac{1}{n \cdot e \cdot \mu} \]

где \( \rho \) - удельное сопротивление материала, \( n \) - концентрация свободных электронов в материале, \( e \) - заряд электрона (приближенно равен \( 1.6 \times 10^{-19} \) Кл), \( \mu \) - подвижность свободных электронов в материале.

Исходя из данных задачи, у нас есть концентрация свободных электронов для металла \( n_{\text{м}} = 10^{29} \) 1/м^3 и для полупроводника \( n_{\text{п}} = 10^{17} \) 1/м^3. Подвижность свободных электронов неизвестна, но мы можем предположить, что она примерно одинакова для обоих материалов.

Теперь давайте найдем удельные сопротивления для металла и полупроводника.

Для металла:
\[ \rho_{\text{м}} = \frac{1}{n_{\text{м}} \cdot e \cdot \mu_{\text{м}}} \]

Для полупроводника:
\[ \rho_{\text{п}} = \frac{1}{n_{\text{п}} \cdot e \cdot \mu_{\text{п}}} \]

Так как геометрические размеры проволок одинаковы, площади поперечного сечения сокращаются:

\[ \frac{R_{\text{м}}} {R_{\text{п}}} = \frac{\rho_{\text{п}}} {\rho_{\text{м}}} = \frac{n_{\text{м}}} {n_{\text{п}}} \]

Теперь подставим данные задачи и выполним вычисления:

\[ \frac{R_{\text{м}}} {R_{\text{п}}} = \frac{n_{\text{м}}} {n_{\text{п}}} = \frac{10^{29}} {10^{17}} \]

\[ \frac{R_{\text{м}}} {R_{\text{п}}} = 10^{29 - 17} = 10^{12} \]

Таким образом, сопротивление полупроводника меньше, чем сопротивление металла, примерно в \( 10^{12} \) раз.