6. Изобразите треугольную призму. Определите общую площадь её поверхности, если все её стороны равны

Arina

69

Хорошо, давайте рассмотрим эту задачу пошагово.

1. Сначала нарисуем треугольную призму. Треугольная призма - это трехмерное тело, у которого основание представляет собой треугольник, а боковые грани - прямоугольные треугольники, имеющие общий ребро с основанием и сходящиеся в вершине.

⎛
/|\
/ | \
/ | \
⎝___|___⎠

2. Так как в задаче сказано, что все стороны призмы равны, то это означает, что все стороны треугольника основания равны между собой. Обозначим длину стороны треугольника основания как \(a\).

3. Чтобы найти общую площадь поверхности треугольной призмы, нужно сложить площади всех ее граней. В этой призме есть две одинаковые основы и три боковые грани.

4. Площадь одной стороны треугольника основания можно найти с помощью формулы для площади треугольника:
\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h,\]
где \(S\) - площадь, \(a\) - длина стороны треугольника, \(h\) - высота треугольника. В данном случае, высота треугольника равна высоте призмы, обозначим ее как \(H\).

5. Площадь одной стороны треугольника основания:
\[S_{\text{основы}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot H.\]

6. Чтобы найти площадь боковой грани, нужно посчитать площадь прямоугольного треугольника, где одна сторона является высотой призмы, а другая сторона - длина стороны треугольника основания:
\[S_{\text{боковой грани}} = a \cdot H.\]

7. Так как в треугольной призме две одинаковые основы, то общая площадь поверхности будет равна площади двух основ и площади трех боковых граней:
\[S_{\text{поверхности}} = 2 \cdot S_{\text{основы}} + 3 \cdot S_{\text{боковой грани}}.\]

8. Подставим значения площадей:
\[S_{\text{поверхности}} = 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot a \cdot H\right) + 3 \cdot (a \cdot H).\]

9. Упростим выражение:
\[S_{\text{поверхности}} = a \cdot H + 3 \cdot (a \cdot H).\]

10. Объединим одинаковые слагаемые:
\[S_{\text{поверхности}} = a \cdot H + 3 \cdot a \cdot H.\]

11. Факторизуем:
\[S_{\text{поверхности}} = (1 + 3) \cdot a \cdot H.\]

12. Просто сократим:
\[S_{\text{поверхности}} = 4 \cdot a \cdot H.\]

Таким образом, общая площадь поверхности треугольной призмы равна \(4 \cdot a \cdot H\). В этой формуле \(a\) - длина стороны треугольника основания, \(H\) - высота призмы.