649) Какова площадь четырехугольника PABD, если известно, что отрезок DC перпендикулярен отрезку AB, длина DC равна

Yascherka

21

Чтобы найти площадь четырехугольника PABD, мы можем воспользоваться формулой площади треугольника и сложить площади треугольников PAB и PDC.

Первым шагом найдем высоту треугольника PAB от основания AB. Мы знаем, что отрезок DC перпендикулярен к AB, поэтому их угол будет прямым. Кроме того, длина DC дана равной \(6/\sqrt{3}\). Из этой информации, мы можем найти длину отрезка BC, так как \(\cos{a} = \sqrt{3}/2\) (известный факт: \(\cos{\pi/3} = \sqrt{3}/2\)).

Таким образом, используя теорему Пифагора, мы можем найти длину BC:
\[BC = \sqrt{DC^2 - BD^2} = \sqrt{\left(\frac{6}{\sqrt{3}}\right)^2 - 1^2} = \sqrt{12 - 1} = \sqrt{11}\]

Теперь мы можем построить прямоугольный треугольник ABC, где у нас есть известные стороны AB и BC. Мы знаем, что \(\cos{B} = 1/2\) (известный факт: \(\cos{\pi/6} = 1/2\)), поэтому мы можем найти угол CBA.

Используя обратный косинус, мы получаем:
\(\angle CBA = \cos^{-1}\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}\)

Теперь, чтобы найти площадь треугольника PAB, мы можем использовать формулу площади треугольника:
\[S_{PAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AP \cdot \sin{\angle PAB}\]

Мы знаем, что \(AB = BC = \sqrt{11}\) и \(\sin{\angle PAB} = \sin{\angle CBA} = \sin{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2}\), поэтому:
\[S_{PAB} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{11} \cdot \sqrt{11} \cdot \frac{1}{2} = \frac{11}{4}\]

Теперь найдем площадь треугольника PDC. У нас есть одна сторона DC, известный угол C, и высота треугольника. Площадь треугольника можно найти с помощью формулы:
\[S_{PDC} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot PD \cdot \sin{\angle PDC}\]

Мы знаем, что \(DC = \frac{6}{\sqrt{3}}\), \(PD = AB = \sqrt{11}\), и \(\sin{\angle PDC} = \sin{\angle CBA} = \frac{1}{2}\), следовательно:
\[S_{PDC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{11} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{11}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{33}}{2}\]

Наконец, площадь четырехугольника PABD будет суммой площадей треугольников PAB и PDC:
\[S_{PABD} = S_{PAB} + S_{PDC} = \frac{11}{4} + \frac{\sqrt{33}}{2}\]

Итак, площадь четырехугольника PABD равна \(\frac{11}{4} + \frac{\sqrt{33}}{2}\).