7. Как изменится сила взаимного притяжения двух тел массой m, если расстояние между ними увеличится в два раза

Zolotaya_Zavesa

46

Конечно! Давайте посмотрим на каждую задачу по очереди и решим их.

7. Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать закон всемирного тяготения Ньютона, который гласит, что сила притяжения между двумя телами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Известно, что сила притяжения между телами равна 20 мН. Для начала, мы можем использовать это значение, чтобы найти константу пропорциональности. Пусть эта константа обозначается как \( G \).

Итак, согласно закону всемирного тяготения, мы можем записать:

\[ F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}} \]

где \( F \) - сила притяжения, \( m_1 \) и \( m_2 \) - массы двух тел, а \( r \) - расстояние между ними.

Мы знаем, что сила притяжения равна 20 мН. Пусть масса каждого тела будет \( m \). Исходя из условия задачи, расстояние между телами увеличивается в два раза, то есть становится равным \( 2r \).

Теперь можем записать уравнение для новых значений:

\[ 20 = \frac{{G \cdot m \cdot m}}{{(2r)^2}} \]

\[ 20 = \frac{{G \cdot m^2}}{{4r^2}} \]

Для дальнейших вычислений, давайте упростим это уравнение, умножив обе части на \(4r^2\):

\[ 80r^2 = G \cdot m^2 \]

Теперь мы можем рассмотреть изменения. Изменилось только расстояние между телами, а масса осталась неизменной. Исходя из условия, расстояние увеличивается в два раза, то есть новое расстояние будет равно \( 2r \). Подставим это значение в уравнение:

\[ 80(2r)^2 = G \cdot m^2 \]

\[ 320r^2 = G \cdot m^2 \]

Из полученного уравнения видно, что сила притяжения не меняется при изменении расстояния в два раза. Это объясняется тем, что изменение расстояния сокращается с изменением массы в квадрате, сохраняя силу притяжения постоянной.

8. Теперь рассмотрим вторую задачу. Изначально сила притяжения равна 90 мН. Масса каждого тела уменьшается в три раза, а расстояние между ними уменьшается в два раза.

Мы можем использовать тот же закон всемирного тяготения, чтобы решить эту задачу. Пусть \( G \) остается константой пропорциональности.

Исходя из условия, при уменьшении массы каждого тела в три раза, массы тел становятся \(\frac{m}{3}\).

Расстояние между телами уменьшается в два раза, то есть становится \(\frac{r}{2}\).

Теперь мы можем записать уравнение для новых значений:

\[ 90 = \frac{{G \cdot (\frac{m}{3}) \cdot (\frac{m}{3})}}{{(\frac{r}{2})^2}} \]
\[ 90 = \frac{{G \cdot \frac{m^2}{9}}}{{\frac{r^2}{4}}} \]

Упростим уравнение, домножив обе части на \(\frac{r^2}{4}\):

\[ \frac{90 \cdot r^2}{4} = \frac{G \cdot m^2}{9} \]
\[ \frac{90 \cdot r^2}{4} = \frac{G \cdot m^2}{9} \]

Затем, умножим обе части на \(\frac{36}{r^2}\):

\[ 90 \cdot 9 = \frac{G \cdot m^2 \cdot 36}{r^2} \]
\[ 810 = G \cdot \frac{m^2 \cdot 36}{r^2} \]

Теперь рассмотрим изменения. Расстояние уменьшается в два раза, а масса каждого тела уменьшается в три раза. Это значит, что новое расстояние будет \(\frac{r}{2}\), а масса каждого тела будет \(\frac{m}{3}\). Подставим эти значения в уравнение:

\[ 810 = G \cdot \frac{(\frac{m}{3})^2 \cdot 36}{(\frac{r}{2})^2} \]
\[ 810 = G \cdot \frac{\frac{m^2}{9} \cdot 36}{\frac{r^2}{4}} \]
\[ 810 = G \cdot \frac{4m^2}{9} \cdot \frac{36}{r^2} \]
\[ 810 = \frac{G \cdot 4m^2 \cdot 36}{9r^2} \]
\[ 810 = \frac{G \cdot 16m^2}{r^2} \]

Таким образом, сила притяжения также не изменяется при уменьшении расстояния между телами в два раза и уменьшении массы каждого тела в три раза.

9. Идущая задача не полностью задана, но мы можем продолжить решение, основываясь на информации о силе тяжести на поверхности Земли. Обычно сила тяжести на поверхности Земли обозначается \( g \) и имеет значение около 9,8 м/с\(^2\).

Известно, что сила тяжести, действующая на объект, прямо пропорциональна массе этого объекта. Таким образом, если масса космонавта обозначается как \( m \), то сила тяжести находится по формуле:

\[ F = m \cdot g \]

Где \( m \) - масса космонавта, \( g \) - сила тяжести.

Теперь, когда мы знаем, как найти силу тяжести, давайте решим эту задачу. Космонавт находится на расстоянии 3 радиусов Земли от ее центра. Обозначим это расстояние как \( 3r \).

Таким образом, чтобы найти силу тяжести на этом расстоянии, мы можем воспользоваться формулой:

\[ F = m \cdot g \]

подставив \( 3r \) вместо \( r \):

\[ F = m \cdot g \cdot \frac{1}{{(3r)^2}} \]

Упростим уравнение:

\[ F = \frac{{m \cdot g}}{{9r^2}} \]

Таким образом, сила тяжести на расстоянии 3 радиусов от центра Земли будет равна \( \frac{{m \cdot g}}{{9r^2}} \).