Каков возраст радиоактивного образца, если анализ с периодом полураспада 1000 лет показал, что 3/4 ядер распались?

Сверкающий_Джентльмен

32

Дано:

- Период полураспада \(T_{\frac{1}{2}}\) радиоактивного образца: 1000 лет.
- Доля оставшихся радиоактивных ядер: \(\frac{3}{4}\).

Решение:

Период полураспада означает, что за каждый период полураспада количество радиоактивных ядер уменьшается в два раза.

Изначально, когда образец был "свежим", у нас было \(100\%\) ядер. Соответственно, если осталось \(\frac{3}{4}\) ядер, значит, прошло \(n\) периодов полураспада, и количество ядер уменьшилось в \(\left(\frac{1}{2}\right)^n\) раз.

Мы можем применить эту формулу и найти неизвестное \(n\):

\(\left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{3}{4}\)

Чтобы решить это уравнение, возьмем логарифм от обеих частей:

\(\log{\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)} = \log{\left(\frac{3}{4}\right)}\)

Теперь применим свойство логарифмов: \(\log{a^b} = b \cdot \log{a}\), и получим:

\(n \cdot \log{\left(\frac{1}{2}\right)} = \log{\left(\frac{3}{4}\right)}\)

Перейдем к значениям:

\(n \cdot (-0.301) = -0.177\)

Делаем простые алгебраические преобразования и решаем для \(n\):

\(n = \frac{-0.177}{-0.301} \approx 0.588\)

Итак, количество периодов полураспада \(n\) составляет примерно 0.588.

Теперь, чтобы найти возраст образца, нужно умножить количество периодов полураспада на период полураспада:

\(\text{Возраст} = n \cdot T_{\frac{1}{2}} \approx 0.588 \cdot 1000 \approx 588\) лет.

Ответ: Возраст радиоактивного образца составляет примерно 588 лет.