Каковы апофема, высота и площадь полной поверхности усеченной пирамиды, полученной после пересечения правильной

Поющий_Хомяк

12

Для решения данной задачи, нам необходимо разобраться с основными понятиями и формулами, связанными с усеченной пирамидой.

Усеченная пирамида - это геометрическое тело, образованное путем пересечения пирамиды плоскостью, параллельной основанию и проходящей через середину ее высоты.

Апофема - это расстояние от вершины пирамиды до центра основания.

Высота усеченной пирамиды - это расстояние между плоскостью основания и плоскостью пересечения.

Площадь полной поверхности усеченной пирамиды можно вычислить, сложив площадь основания, площадь верхнего основания, площади всех боковых граней.

Для решения задачи, мы знаем, что сторона основания равна 10 см. Предположим, что высота пирамиды равна h, а апофема равна a.

1. Найдем высоту пирамиды h.

Так как задана сторона основания a=10 см, мы можем использовать формулу для вычисления высоты пирамиды основанием равнобедренного треугольника:

\[h = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}}\]

Подставим значение a = 10 в формулу:

\[h = \sqrt{10^2 - \frac{10^2}{4}} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} \approx 8.66 \text{ см}\]

Таким образом, высота пирамиды равна примерно 8.66 см.

2. Найдем апофему a.

У нас уже есть вычисленная высота h. Апофема a равна половине диагонали основания пирамиды. Рассмотрим треугольник, образованный одной стороной основания и апофемой. Такой треугольник является прямоугольным, так как апофема а является высотой прямоугольника, образованного двумя равнобедренными треугольниками.

Мы знаем, что сторона основания равна 10 см, а высота равна 8.66 см. При помощи теоремы Пифагора, мы можем найти апофему.

\[a = \sqrt{\left(\frac{10}{2}\right)^2 + 8.66^2} = \sqrt{25 + 75} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}\]

Таким образом, апофема равна 10 см.

3. Найдем площадь полной поверхности усеченной пирамиды.

Площадь основания равна сторона в квадрате: \(S_{\text{основания}} = a^2 = 10^2 = 100 \text{ см}^2\).

Площадь верхнего основания также будет равна \(100 \text{ см}^2\), так как основания пирамиды являются правильными четырехугольниками.

Теперь найдем площадь боковых граней. Мы можем использовать формулу для площади треугольника: \(S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\). Высота треугольников будет равна высоте пирамиды h.

Поскольку пирамида имеет 4 боковые грани, площадь боковых граней будет равной \(4 \times S_{\text{треугольника}}\).

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times 10 \times 8.66 = 43.3 \text{ см}^2\]

\[S_{\text{боковых граней}} = 4 \times S_{\text{треугольника}} = 4 \times 43.3 = 173.2 \text{ см}^2\]

Итак, площадь полной поверхности усеченной пирамиды составляет \(S_{\text{полной поверхности}} = S_{\text{основания}} + S_{\text{верхнего основания}} + S_{\text{боковых граней}} = 100 + 100 + 173.2 = 373.2 \text{ см}^2\).

Таким образом, мы получаем следующие результаты:
- Апофема усеченной пирамиды равна 10 см.
- Высота усеченной пирамиды равна примерно 8.66 см.
- Площадь полной поверхности усеченной пирамиды равна 373.2 см^2.