А(4;0), В(12;-2), С(5;-9) деп алып, АВС үшбұрышының 1) периметрін; 2) AN медианасының ұзындығын; 3) сырттай сызылған

Lyubov

41

Шаблон решения для данной задачи:

1) Чтобы найти периметр \(P\) треугольника \(ABC\), нужно сложить длины всех его сторон. Для этого, найдем длины сторон \(AB\), \(BC\) и \(AC\) и сложим их.

Длина стороны \(AB\) равна расстоянию между точками \(A\) и \(B\). Для этого, воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

\[
AB = \sqrt{{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}}
\]

Подставим координаты точек \(A(4; 0)\) и \(B(12; -2)\) в эту формулу:

\[
AB = \sqrt{{(12 - 4)^2 + (-2 - 0)^2}} = \sqrt{{(8)^2 + (-2)^2}} = \sqrt{{64 + 4}} = \sqrt{{68}} = 2\sqrt{{17}}
\]

Аналогично найдем длины сторон \(BC\) и \(AC\):

\[
BC = \sqrt{{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}} = \sqrt{{(5 - 12)^2 + (-9 - (-2))^2}} = \sqrt{{(-7)^2 + (-7)^2}} = \sqrt{{49 + 49}} = \sqrt{{98}} = 7\sqrt{{2}}
\]

\[
AC = \sqrt{{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}} = \sqrt{{(5 - 4)^2 + (-9 - 0)^2}} = \sqrt{{(1)^2 + (-9)^2}} = \sqrt{{1 + 81}} = \sqrt{{82}}
\]

Теперь, сложим их:

\[
P = AB + BC + AC = 2\sqrt{{17}} + 7\sqrt{{2}} + \sqrt{{82}}
\]

2) Для нахождения длины медианы \(AN\), которая проходит через вершину \(A\) и центр масс треугольника \(ABC\), воспользуемся формулой:

\[
AN = \frac{{2}}{{3}} \cdot \sqrt{{2 \cdot (BC^2 + AC^2) - AB^2}}
\]

Подставим известные значения:

\[
AN = \frac{{2}}{{3}} \cdot \sqrt{{2 \cdot ((7\sqrt{{2}})^2 + (\sqrt{{82}})^2) - (2\sqrt{{17}})^2}} = \frac{{2}}{{3}} \cdot \sqrt{{2 \cdot (98 + 82) - 68}} = \frac{{2}}{{3}} \cdot \sqrt{{260}} = \frac{{2}}{{3}} \cdot 2\sqrt{{65}} = \frac{{4}}{{3}} \sqrt{{65}}
\]

3) Для нахождения радиуса \(r\) и координат центра шеины, воспользуемся следующими формулами:

\(r = \frac{{AB \cdot BC \cdot AC}}{{4S}}\)

\(x_c = \frac{{x_A + x_B + x_C}}{{3}}\)

\(y_c = \frac{{y_A + y_B + y_C}}{{3}}\)

где \(S\) - площадь треугольника \(ABC\), которую можно найти с помощью формулы Герона:

\(S = \sqrt{{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)}}\)

где \(p\) - полупериметр треугольника, равный полусумме длин его сторон:

\(p = \frac{{AB + BC + AC}}{{2}}\)

Подставим известные значения:

\(p = \frac{{2\sqrt{{17}} + 7\sqrt{{2}} + \sqrt{{82}}}}{{2}}\)

\(S = \sqrt{{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)}}\)

\(r = \frac{{AB \cdot BC \cdot AC}}{{4S}}\)

\(x_c = \frac{{4 + 12 + 5}}{{3}}\)

\(y_c = \frac{{0 + (-2) + (-9)}}{{3}}\)

После подстановки значений в формулы, произведем необходимые вычисления, чтобы найти радиус \(r\) и координаты центра шеины \(C(x_c, y_c)\).

Пожалуйста, сообщите, если нужны дополнительные пояснения или решение имеет быть более подробным.