Какова высота прямой треугольной призмы с площадью полной поверхности, равной площади полной поверхности куба, если

Eva_364

6

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать теорему Пифагора для треугольника, который образует основание призмы.

По условию задачи, гипотенуза \(c\) прямоугольного треугольника равна 10, а один из катетов равен \(a\).

Используя теорему Пифагора, мы можем выразить второй катет \(b\) через известные значения:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Теперь рассмотрим площадь полной поверхности куба и прямой треугольной призмы. Площадь полной поверхности куба вычисляется по формуле:

\[S_{\text{куба}} = 6a^2\]

Площадь полной поверхности прямой треугольной призмы можно найти, зная высоту \(h\) и площадь основания \(S_{\text{осн}}\):

\[S_{\text{призмы}} = 2S_{\text{осн}} + 3S_{\text{бок}}\]

Где \(S_{\text{осн}} = \frac{1}{2}ab\) - площадь прямоугольного треугольника - основания призмы, а \(S_{\text{бок}} = ah\) - площадь боковой поверхности призмы.

Из условия задачи следует, что \(S_{\text{призмы}} = S_{\text{куба}}\). Подставим значения площади куба:

\[2S_{\text{осн}} + 3S_{\text{бок}} = 6a^2\]

Теперь найдем высоту призмы \(h\).

Сначала найдем \(S_{\text{осн}}\):

\[S_{\text{осн}} = \frac{1}{2}ab\]

\[S_{\text{бок}} = ah\]

Теперь подставим значения площадей:

\[2 \cdot \frac{1}{2} ab + 3ah = 6a^2\]

\[ab + 3ah = 6a^2\]

\[b + 3h = 6a\]

Далее используем теорему Пифагора, чтобы выразить \(b\):

\[c^2 = a^2 + b^2\]

\[10^2 = a^2 + b^2\]

\[100 = a^2 + b^2\]

\[b = \sqrt{100 - a^2}\]

Теперь подставим это значение обратно в уравнение:

\[\sqrt{100 - a^2} + 3h = 6a\]

Теперь осталось выразить \(h\):

\[3h = 6a - \sqrt{100 - a^2}\]

\[h = 2a - \frac{1}{3}\sqrt{100 - a^2}\]

Таким образом, высота прямой треугольной призмы с площадью полной поверхности, равной площади полной поверхности куба будет равна \(h = 2a - \frac{1}{3}\sqrt{100 - a^2}\).