a) Чему равно расстояние между точками а и в? б) Какое уравнение прямой задаётся точками а и в? в) Какое уравнение

Pushistyy_Drakonchik

27

Давайте решим задачу шаг за шагом:

а) Чтобы найти расстояние между точками а и в, воспользуемся формулой для расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат. Формула имеет вид:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

где \(d\) - расстояние между точками, \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) - координаты точек а и в соответственно.

Пусть \(a = (x_1, y_1)\) и \(b = (x_2, y_2)\).

Для данной задачи, предположим, что координаты точки а равны \(a = (x_1, y_1) = (2, 3)\), а координаты точки в равны \(b = (x_2, y_2) = (5, 7)\). Подставим эти значения в формулу:

\[d = \sqrt{{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2}}\]

\[d = \sqrt{{3^2 + 4^2}}\]

\[d = \sqrt{{9 + 16}}\]

\[d = \sqrt{{25}}\]

\[d = 5\]

Таким образом, расстояние между точками а и в равно 5.

б) Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точки а и в, воспользуемся формулой для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Формула имеет вид:

\[y - y_1 = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}(x - x_1)\]

где \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) - координаты точек а и в соответственно.

Подставим значения координат точек а и в в формулу:

\[(x, y) - (2, 3) = \frac{{7 - 3}}{{5 - 2}}(x - 2)\]

Сократим дробь:

\[(x, y) - (2, 3) = \frac{4}{3}(x - 2)\]

Раскроем скобки:

\[x - 2, y - 3 = \frac{4}{3}x - \frac{8}{3}\]

Перенесем все члены с \(x\) в одну часть уравнения, а с числами в другую:

\[x - \frac{4}{3}x = 2 - \frac{8}{3}\]

Вынесем \(x\) за скобку:

\[\frac{3x - 4x}{3} = \frac{6 - 8}{3}\]

\[ -\frac{1}{3}x = -\frac{2}{3}\]

Умножим обе части уравнения на \(-3\) для удобства:

\[x = 2\]

Теперь найдем \(y\) подставив \(x\) в уравнение:

\[(2, y) - (2, 3) = \frac{4}{3}(2 - 2)\]

\[(2, y) - (2, 3) = 0\]

Следовательно, координата \(y\) может быть любым числом. Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки а и в, имеет вид \(x = 2\).

в) Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через середину отрезка \(АВ\) (обозначим его как точку С) и параллельной прямой \(y = 2x + 5\), воспользуемся свойством параллельных прямых, согласно которому все параллельные прямые имеют одинаковый наклон.

Сначала найдем координаты точки С, которая является серединой отрезка \(AB\). Для этого найдем среднее арифметическое значение координат \(x\) и \(y\) точек а и в:

\[\left(\frac{{x_1 + x_2}}{2}, \frac{{y_1 + y_2}}{2}\right)\]

Подставим значения координат точек а и в:

\[\left(\frac{{2 + 5}}{2}, \frac{{3 + 7}}{2}\right)\]

\[\left(\frac{7}{2}, \frac{10}{2}\right)\]

\[\left(\frac{7}{2}, 5\right)\]

Так как прямая, проходящая через точку С, будет параллельна прямой \(y = 2x + 5\), имеющей наклон \(2\), то уравнение прямой, проходящей через точку С, будет иметь тот же наклон \(2\).

И, наконец, составим уравнение прямой, проходящей через точку С и имеющей наклон \(2\):

\[y - y_1 = m(x - x_1)\]

где \(m\) - наклон прямой (в данном случае \(2\)), а \((x_1, y_1)\) - координаты точки С.

Подставим значения в уравнение:

\[y - 5 = 2(x - 7/2)\]

\[y - 5 = 2x - 7\]

\[y = 2x - 7 + 5\]

\[y = 2x - 2\]

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через середину отрезка \(АВ\) и параллельной прямой \(y = 2x + 5\), будет иметь вид \(y = 2x - 2\).