а) Что является координатами вершины параболы функции f(x) = х² - 6х - 7? b) Как построить график функции f(x)

Yascherica

13

a) Чтобы найти координаты вершины параболы функции \(f(x) = x^2 - 6x - 7\), мы можем использовать формулу \(x = -\frac{b}{2a}\), где \(a\) и \(b\) - коэффициенты при \(x\) в уравнении параболы.

В данной функции, \(a = 1\) и \(b = -6\). Подставим значения в формулу:
\[x = -\frac{-6}{2 \cdot 1}\]
\[x = 3\]

Теперь найдем \(y\)-координату вершины, подставив \(x = 3\) в уравнение \(f(x)\):
\[f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 - 7\]
\[f(3) = 9 - 18 - 7\]
\[f(3) = -16\]

Таким образом, координаты вершины параболы функции \(f(x) = x^2 - 6x - 7\) равны (3, -16).

b) Чтобы построить график функции \(f(x) = x^2 - 6x - 7\), мы можем использовать координаты вершины, найденные в предыдущем пункте, и знание о том, что парабола с положительным коэффициентом \(a\) открывается вверх.

1. Нанесите на график систему координат с осями \(x\) и \(y\).
2. Отметьте на графике вершину параболы с координатами (3, -16).
3. Равномерно расставьте несколько точек справа и слева от вершины параболы.
4. Подставьте значения \(x\) в уравнение \(f(x)\) и найдите соответствующие значения \(y\).
5. Нанесите найденные точки на график.
6. Соедините все точки гладкой кривой линией.

Таким образом, вы получите график функции \(f(x) = x^2 - 6x - 7\).

с) Чтобы определить область определения функции \(f(x) = x^2 - 6x - 7\), нужно определить, для каких значений \(x\) функция определена.

Функция \(f(x) = x^2 - 6x - 7\) определена для любого вещественного числа \(x\), так как уравнение квадратного трехчлена имеет решение для любого вещественного \(x\).

Таким образом, область определения функции \(f(x) = x^2 - 6x - 7\) - это множество всех вещественных чисел \(\mathbb{R}\).

d) Осью симметрии функции \(f(x) = x^2 - 6x - 7\) является вертикальная прямая, проходящая через вершину параболы. В предыдущем пункте мы уже определили, что координата \(x\) вершины равна 3. Таким образом, ось симметрии функции \(f(x) = x^2 - 6x - 7\) имеет уравнение \(x = 3\).

е) Чтобы определить промежутки монотонности функции \(f(x) = x^2 - 6x - 7\), нужно выяснить, когда функция возрастает и когда убывает.

1. Найдите точку первого ekstrema функции, где \(f"(x) = 0\). Для этого найдите производную \(f"(x)\) функции \(f(x) = x^2 - 6x - 7\) и решите уравнение \(f"(x) = 0\).
2. Исследуйте знак производной \(f"(x)\) между точками \(x\) и точками вне этих значений. Если производная положительна (больше нуля), функция возрастает. Если производная отрицательна (меньше нуля), функция убывает.

Производная функции \(f(x) = x^2 - 6x - 7\) равна:
\[f"(x) = 2x - 6\]

Теперь решим уравнение \(f"(x) = 0\):
\[2x - 6 = 0\]
\[x = 3\]

То есть, точка первого экстремума находится в \(x = 3\).

Подставим значения между экстремумами и за экстремумами в производную функции \(f"(x)\), чтобы определить знак производной:

1. При \(x < 3\), например \(x = 2\):
\[f"(2) = 2 \cdot 2 - 6 = -2 < 0\]
Функция убывает на этом промежутке.
2. При \(x > 3\), например \(x = 4\):
\[f"(4) = 2 \cdot 4 - 6 = 2 > 0\]
Функция возрастает на этом промежутке.

Таким образом, функция \(f(x) = x^2 - 6x - 7\) убывает на промежутке \((-\infty, 3)\) и возрастает на промежутке \((3, +\infty)\).