Как избавиться от иррациональности в знаменателе дроби 21/5+√18?

Grigoryevich

12

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби \( \frac{21}{5+\sqrt{18}} \), мы можем использовать метод, называемый умножением на сопряженное число.

Сопряженное число для выражения \( 5+\sqrt{18} \) - это \( 5-\sqrt{18} \).

Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, мы умножаем исходную дробь на эту сопряженную дробь:

\[ \frac{21}{5+\sqrt{18}} \cdot \frac{5-\sqrt{18}}{5-\sqrt{18}} \]

В числителе мы имеем произведение \( 21 \cdot (5-\sqrt{18}) \), а в знаменателе \( (5+\sqrt{18}) \cdot (5-\sqrt{18}) \).

Теперь, давайте выполним вычисления:

В числителе:
\[ 21 \cdot (5-\sqrt{18}) = 105 - 21\sqrt{18} \]

В знаменателе:
\[ (5+\sqrt{18}) \cdot (5-\sqrt{18}) = 5^2 - (\sqrt{18})^2 = 25 - 18 = 7 \]

Таким образом, немного упростив, получаем:
\[ \frac{21}{5+\sqrt{18}} = \frac{105 - 21\sqrt{18}}{7} \]

Это - окончательный ответ без иррациональности в знаменателе. Обратите внимание, что это десятичное выражение может быть округлено до нужной точности, если требуется численное значение.