А) Докажите, что если последовательность (аn) является арифметической прогрессией и к каждому члену этой прогрессии

Kseniya

24

Хорошо! Давайте начнем с пункта А.

А) Чтобы доказать, что если к каждому члену арифметической прогрессии \((a_n)\) прибавить одно и то же число, то полученная последовательность также будет арифметической прогрессией, нам нужно следующее.

Пусть исходная арифметическая прогрессия задана формулой \((a_n) = a_1 + (n-1)d\), где \(a_1\) - первый член прогрессии, \(d\) - разность прогрессии, \(n\) - номер члена последовательности.

Добавим к каждому члену прогрессии одно и то же число \(c\), тогда новая последовательность будет задана формулой \((b_n) = a_n + c\), где \(b_n\) - новый член прогрессии.

Давайте заменим \(a_n\) в выражении для \(b_n\) на его значение в исходной последовательности и получим выражение для \(b_n\):

\[b_n = a_n + c = (a_1 + (n-1)d) + c\]

Обратите внимание, что разность \(d\) в исходной прогрессии остается неизменной при прибавлении одного и того же числа ко всем членам, поэтому новая последовательность также будет обладать арифметической прогрессией с той же разностью \(d\).

Приведем пример для большей наглядности:

Пусть исходная арифметическая прогрессия задана формулой \((a_n) = 2n\). Если мы прибавим к каждому члену этой прогрессии число 3, то новая последовательность будет выглядеть так: \((b_n) = 2n + 3\).

Например, первый член исходной прогрессии \(a_1 = 2 \cdot 1 = 2\), а первый член новой прогрессии \(b_1 = 2 \cdot 1 + 3 = 5\). Разность остается той же, так как \(a_2 - a_1 = 2(2) - 2(1) = 2\) и \(b_2 - b_1 = 2(2) + 3 - 2(1) - 3 = 2\).

Поэтому мы доказали, что если добавить к каждому члену арифметической прогрессии одно и то же число, то полученная последовательность также будет арифметической прогрессией.

Перейдем к пункту Б.

Б) Чтобы доказать, что если каждый член арифметической прогрессии \((a_n)\) умножить на одно и то же число, то полученная последовательность также будет арифметической прогрессией, нам нужно следующее.

Пусть исходная арифметическая прогрессия задана формулой \((a_n) = a_1 + (n-1)d\), где \(a_1\) - первый член прогрессии, \(d\) - разность прогрессии, \(n\) - номер члена последовательности.

Умножим каждый член прогрессии на одно и то же число \(k\), тогда новая последовательность будет задана формулой \((c_n) = ka_n\), где \(c_n\) - новый член прогрессии.

Давайте заменим \(a_n\) в выражении для \(c_n\) на его значение в исходной последовательности и получим выражение для \(c_n\):

\[c_n = ka_n = k(a_1 + (n-1)d)\]

Обратите внимание, что разность \(d\) в исходной прогрессии остается неизменной при умножении каждого члена на одно и то же число, поэтому новая последовательность также будет обладать арифметической прогрессией с той же разностью \(d\).

Приведем пример:

Пусть исходная арифметическая прогрессия задана формулой \((a_n) = 3n\). Если мы умножим каждый член этой прогрессии на число 2, то новая последовательность будет выглядеть так: \((c_n) = 2 \cdot 3n\).

Например, первый член исходной прогрессии \(a_1 = 3 \cdot 1 = 3\), а первый член новой прогрессии \(c_1 = 2 \cdot 3 \cdot 1 = 6\). Разность остается той же, так как \(a_2 - a_1 = 3(2) - 3(1) = 3\) и \(c_2 - c_1 = 2 \cdot 3(2) - 2 \cdot 3(1) = 3\).

Поэтому мы доказали, что если умножить каждый член арифметической прогрессии на одно и то же число, то полученная последовательность также будет арифметической прогрессией.

Все доказательства основаны на алгебраических преобразованиях и свойствах арифметической прогрессии. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, я буду рад помочь!