а) Докажите, что прямая ac1 параллельна плоскости amb1. б) Найдите расстояние между прямой ac1 и плоскостью amb1, если

Zvezdopad_Shaman

13

a) Чтобы доказать, что прямая \(ac_1\) параллельна плоскости \(amb_1\), мы должны показать, что угол между прямой и плоскостью равен 90 градусам.

1. Как известно, вектор, параллельный плоскости, также перпендикулярен ее вектору нормали. Поэтому мы можем найти вектор нормали к плоскости \(amb_1\).

2. Для этого нам нужно знать координаты плоскости \(amb_1\) или три ее неколлинеарных точки (то есть точки, не лежащие на одной прямой). Поскольку в задаче не указаны координаты, давайте предположим, что точки \(a\), \(m\) и \(b_1\) заданы следующим образом:

\(a = (0, 0, 0)\)
\(m = (2, 3, 1)\)
\(b_1 = (4, 0, 0)\)

3. Теперь мы можем вычислить вектор нормали к плоскости \(amb_1\), используя кросс-произведение двух векторов на плоскости:

\(\vec{n} = \vec{am} \times \vec{ab_1}\)

где \(\vec{am}\) - вектор от точки \(a\) к точке \(m\),
\(\vec{ab_1}\) - вектор от точки \(a\) к точке \(b_1\).

Вычислим значения этих векторов:

\(\vec{am} = (2-0, 3-0, 1-0) = (2, 3, 1)\)
\(\vec{ab_1} = (4-0, 0-0, 0-0) = (4, 0, 0)\)

Теперь вычислим векторное произведение:

\(\vec{n} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 3 & 1 \\ 4 & 0 & 0 \end{vmatrix}\)

\(\vec{n} = (0 - 0)i - (0 - 4)j + (12 - 0)k\)

\(\vec{n} = -4j + 12k\)

4. У нас есть вектор нормали к плоскости \(amb_1\), и теперь нам нужно вычислить вектор, соответствующий прямой \(ac_1\). Поскольку значение \(c_1\) не указано в задаче, давайте предположим, что оно имеет координаты:

\(c_1 = (0, 1, 2)\)

Тогда вектор прямой \(ac_1\) будет:

\(\vec{ac_1} = (0-0, 1-0, 2-0) = (0, 1, 2)\)

5. Теперь мы можем проверить, перпендикулярна ли прямая \(ac_1\) вектору нормали:

\(\vec{n} \cdot \vec{ac_1} = (-4, 12) \cdot (0, 1, 2)\)

\(\vec{n} \cdot \vec{ac_1} = 0 + 12 + 24 = 36\)

Таким образом, скалярное произведение векторов не равно нулю, что означает, что угол между прямой \(ac_1\) и плоскостью \(amb_1\) не равен 90 градусам, а значит, они не параллельны.

Ответ: прямая \(ac_1\) не параллельна плоскости \(amb_1\).


б) Чтобы найти расстояние между прямой \(ac_1\) и плоскостью \(amb_1\), мы можем использовать формулу, которая определяет расстояние между точкой и плоскостью.

1. Формула для расстояния \(d\) между плоскостью \(ax + by + cz + d = 0\) и точкой \(P(x_0, y_0, z_0)\) имеет вид:

\(d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\)

Мы можем использовать эту формулу, если мы знаем уравнение плоскости и координаты точки, через которую проходит прямая.

2. В задаче указано, что параллелепипед \(abcd a_1b_1c_1d_1\) является прямоугольным, а также известны значения \(ab\) и \(ad\).

3. Давайте найдем уравнение плоскости \(amb_1\) через три неколлинеарные точки \(a\), \(m\) и \(b_1\), используя формулу уравнения плоскости через точку и вектор нормали.

а) Найдем вектор \(ma\) и вектор \(mb_1\):

\(\vec{ma} = (0-2, 0-3, 0-1) = (-2, -3, -1)\)
\(\vec{mb_1} = (4-2, 0-3, 0-1) = (2, -3, -1)\)

б) Теперь найдем вектор нормали к плоскости \(amb_1\) с помощью кросс-произведения:

\(\vec{n} = \vec{ma} \times \vec{mb_1}\)

\(\vec{n} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -2 & -3 & -1 \\ 2 & -3 & -1 \end{vmatrix}\)

\(\vec{n} = (-3-3)j - (-2-2)k + (-2(-3) - (-2)(-3))i\)

\(\vec{n} = -6j + 4k - 6i\)

в) Используя формулу уравнения плоскости через точку и вектор нормали, уравнение плоскости \(amb_1\) будет:

\(-6x + 4y - 6z + d = 0\)

Подставим координаты точки \(a\) (\(0, 0, 0\)):

\(-6(0) + 4(0) - 6(0) + d = 0\)

\(d = 0\)

Таким образом, уравнение плоскости \(amb_1\) равно:

\(-6x + 4y - 6z = 0\)

4. Теперь мы должны использовать формулу для расстояния между прямой и плоскостью, где плоскость - \(amb_1\), а прямая - \(ac_1\).

а) Запишем уравнение прямой \(ac_1\) через две точки \(a\) и \(c_1\):

\(x = 0 + 0t\)
\(y = 1 + t\)
\(z = 2 + 2t\)

б) Подставим уравнение прямой в уравнение плоскости \(amb_1\):

\(-6(0) + 4(1 + t) - 6(2 + 2t) = 0\)

\(-6 + 4 + 4t - 12 - 12t = 0\)

\(-8t - 14 = 0\)

\(t = -\frac{7}{4}\)

в) Найдем координаты точки \(c_1\) при \(t = -\frac{7}{4}\):

\(x = 0 + 0(-\frac{7}{4}) = 0\)
\(y = 1 - \frac{7}{4} = \frac{4}{4} - \frac{7}{4} = -\frac{3}{4}\)
\(z = 2 + 2(-\frac{7}{4}) = 2 - \frac{14}{4} = \frac{8}{4} - \frac{14}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}\)

Точка \(c_1\) имеет координаты \((0, -\frac{3}{4}, -\frac{3}{2})\).

5. Теперь мы можем использовать формулу для расстояния:

\(d = \frac{|(-6)(0) + 4(-\frac{3}{4}) - 6(-\frac{3}{2})|}{\sqrt{(-6)^2 + 4^2 + (-6)^2}}\)

\(d = \frac{|0 - \frac{12}{4} + \frac{27}{4}|}{\sqrt{36 + 16 + 36}}\)

\(d = \frac{|\frac{15}{4}|}{\sqrt{88}}\)

\(d = \frac{15}{4\sqrt{88}}\)

Ответ: Расстояние между прямой \(ac_1\) и плоскостью \(amb_1\) равно \(\frac{15}{4\sqrt{88}}\)