a) Какие координаты имеет точка касания графика функции y=x^2+4x+5 с прямой y=2x+b? b) Можете нарисовать график функции

Загадочный_Песок

44

Конечно! Давайте решим задачу по порядку.

a) Найдем координаты точки касания графика функции \(y=x^2+4x+5\) с прямой \(y=2x+b\).

Для этого нам нужно найти общую точку уравнений функции и прямой, то есть точку, в которой значения \(y\) будут равными.

Подставим \(y=2x+b\) в уравнение функции:
\[x^2+4x+5 = 2x+b\]

Теперь приведем это уравнение к квадратному виду:
\[x^2+2x+(b-5) = 0\]

Это квадратное уравнение можно решить, используя квадратное уравнение:
\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2-4ac}}}}{{2a}}\]

В нашем случае, уравнение имеет вид \(ax^2+bx+c=0\), где \(a=1\), \(b=2\), и \(c=b-5\). Подставим эти значения в квадратное уравнение:
\[x = \frac{{-2 \pm \sqrt{{2^2-4(1)(b-5)}}}}{{2(1)}} \implies x = \frac{{-2 \pm \sqrt{{4-4(b-5)}}}}{2} \implies x = \frac{{-2 \pm \sqrt{{4-4b+20}}}}{2} \implies x = \frac{{-2 \pm \sqrt{{24-4b}}}}{2}\]

Таким образом, мы получили два возможных значения для \(x\):
\[x_1 = \frac{{-2 + \sqrt{{24-4b}}}}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{{-2 - \sqrt{{24-4b}}}}{2}\]

Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для обоих значений \(x\), используя уравнение функции:
\[y = x^2+4x+5\]

Подставим \(x_1\) в уравнение функции:
\[y_1 = \left(\frac{{-2 + \sqrt{{24-4b}}}}{2}\right)^2 + 4\left(\frac{{-2 + \sqrt{{24-4b}}}}{2}\right) + 5\]

Подставим \(x_2\) в уравнение функции:
\[y_2 = \left(\frac{{-2 - \sqrt{{24-4b}}}}{2}\right)^2 + 4\left(\frac{{-2 - \sqrt{{24-4b}}}}{2}\right) + 5\]

Теперь у нас есть две пары координат точек касания графика функции с прямой. Точка касания графика функции и прямой имеет координаты \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\).

b) Я могу нарисовать график функции \(y=x^2+4x+5\) и касательной линии к ней на координатной плоскости:

\[
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
xlabel={\(x\)},
ylabel={\(y\)},
xmin=-10, xmax=10,
ymin=-10, ymax=40,
axis lines=middle,
xtick=\empty, ytick=\empty,
width=10cm, height=8cm,
scale only axis,
thick
]
\addplot[domain=-10:10,blue]{x^2+4*x+5};
\addplot[domain=-8:8,red]{2*x+1};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\]

На графике изображена кривая функции \(y=x^2+4x+5\) и красная линия представляет собой касательную к этой функции.

Надеюсь, этот ответ полностью разъясняет задачу, дает пошаговое решение и предоставляет графическую иллюстрацию. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их. Я буду рад помочь!