а) Какое уравнение можно использовать для определения стороны AB треугольника ABC, если известны его вершины: A(-3

Звездный_Адмирал

29

а) Для определения стороны AB треугольника ABC можно воспользоваться формулой расстояния между двумя точками в декартовой системе координат. Формула имеет вид:

\[AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

где (x₁, y₁) и (x₂, y₂) являются координатами вершин A и B соответственно.

В данном случае, координаты вершины A (-3, -2) и вершины B (14, 4), поэтому подставляя значения в формулу, получим:

\[AB = \sqrt{(14 - (-3))^2 + (4 - (-2))^2} = \sqrt{17^2 + 6^2} = \sqrt{289 + 36} = \sqrt{325}\]

Таким образом, сторона AB треугольника ABC равна \(\sqrt{325}\).

б) Для определения высоты CH треугольника ABC можно воспользоваться формулой площади треугольника. Формула имеет вид:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CH\]

где S - площадь треугольника, AC - длина стороны треугольника, а CH - высота, проведенная к этой стороне.

Для вычисления площади треугольника ABC можно воспользоваться формулой Герона или формулой, основанной на координатах вершин треугольника. В данном случае, используем формулу площади треугольника, основанную на координатах вершин:

\[S = \frac{1}{2} \cdot |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|\]

где (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃) - координаты вершин A, B, C соответственно.

Подставляя значения координат вершин в формулу, получим:

\[S = \frac{1}{2} \cdot |(-3)(4 - 8) + 14(8 - (-2)) + 6((-2) - 4)|\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot |-12 + 132 - 60|\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot |60|\]
\[S = 30\]

Теперь, для определения высоты CH, воспользуемся формулой:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CH\]

Подставляя значения площади и стороны AC (вычисленной в пункте "а") в формулу, получим:

\[30 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{325} \cdot CH\]
\[60 = \sqrt{325} \cdot CH\]

Для определения высоты CH, разделим обе части уравнения на \(\sqrt{325}\):

\[CH = \frac{60}{\sqrt{325}}\]

Таким образом, высота CH треугольника ABC равна \(\frac{60}{\sqrt{325}}\).

в) Медиана AM треугольника ABC делит сторону BC пополам и проходит через вершину A. Для определения уравнения медианы AM нам необходимо найти координаты точки M - середины стороны BC.

Для этого воспользуемся формулами нахождения средней точки по формулам:

\[x_M = \frac{x_B + x_C}{2}\]
\[y_M = \frac{y_B + y_C}{2}\]

Подставляя значения координат B (14, 4) и C (6, 8) в формулы, получим:

\[x_M = \frac{14 + 6}{2} = \frac{20}{2} = 10\]
\[y_M = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6\]

Точка M имеет координаты (10, 6).

Теперь, чтобы найти уравнение медианы AM, мы можем воспользоваться формулой уравнения прямой, проходящей через две точки. Формула имеет вид:

\[y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)\]

где (x₁, y₁) и (x₂, y₂) - это координаты точек A и M соответственно. Подставляя значения координат и упрощая уравнение, получим:

\[y - (-2) = \frac{6 - (-2)}{10 - (-3)}(x - (-3))\]
\[y + 2 = \frac{8}{13}(x + 3)\]

Таким образом, уравнение медианы AM треугольника ABC равно:

\[y + 2 = \frac{8}{13}(x + 3)\]

г) Чтобы найти точку N - пересечение медианы AM и высоты CH треугольника ABC, нам необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнений медианы AM и высоты CH.

Используя уравнение медианы AM из пункта "в":

\[y + 2 = \frac{8}{13}(x + 3)\]

И используя уравнение прямой, проходящей через точки C(6, 8) и H(10, 6) (находим точку H - пересечение высоты и стороны BC):

\[y - y_H = \frac{y_C - y_H}{x_C - x_H}(x - x_H)\]

Подставляя значения координат и упрощая уравнение, получим:

\[y - 6 = \frac{8 - 6}{6 - 10}(x - 10)\]
\[y - 6 = \frac{2}{-4}(x - 10)\]
\[y - 6 = \frac{-1}{2}(x - 10)\]

Таким образом, уравнение прямой, параллельной медиане AM и проходящей через точку H, равно:

\[y - 6 = \frac{-1}{2}(x - 10)\]

Для того чтобы найти точку N - пересечение медианы AM и прямой, параллельной медиане и проходящей через точку H, решим систему уравнений:

\[\begin{cases} y + 2 = \frac{8}{13}(x + 3) \\ y - 6 = \frac{-1}{2}(x - 10) \end{cases}\]

Решив данную систему уравнений, найдём координаты точки N.

Первое уравнение можно переписать:

\[13y + 26 = 8(x + 3)\]
\[13y + 26 = 8x + 24\]
\[13y = 8x - 2\]
\[y = \frac{8}{13}x - \frac{2}{13}\]

Подставим полученное выражение для y во второе уравнение системы:

\[\frac{8}{13}x - \frac{2}{13} - 6 = \frac{-1}{2}(x - 10)\]
\[\frac{8}{13}x - \frac{2}{13} - \frac{6}{1} = \frac{-1}{2}x + 5\]
\[\frac{8}{13}x - \frac{26}{13} - \frac{78}{13} = \frac{-1}{2}x\]
\[\frac{8}{13}x - \frac{104}{13} = \frac{-1}{2}x\]
\[\frac{8}{13}x + \frac{1}{2}x = \frac{104}{13}\]
\[\frac{26}{13}x = \frac{104}{13}\]
\[x = 4\]

Теперь найдем значение y, подставив полученное значение x в уравнение медианы AM:

\[y = \frac{8}{13} \cdot 4 - \frac{2}{13}\]
\[y = \frac{32}{13} - \frac{2}{13}\]
\[y = \frac{30}{13}\]

Точка N имеет координаты (4, \(\frac{30}{13}\)).

Таким образом, точка N, полученная как пересечение медианы AM и высоты CH треугольника ABC, имеет координаты (4, \(\frac{30}{13}\)).