a. Каков период обращения шарика, его угловая и линейная скорости, если он равномерно вращается по окружности радиусом

Ячмень

42

Давайте решим поставленные задачи по очереди.

a. Период обращения \(T\) - это время, за которое шарик делает один полный оборот. У нас данная частота вращения \(f = 2\) об/с, где 1 оборот равен 360 градусам. Период можно найти, используя следующую формулу:
\[T = \frac{1}{f}\]
Подставляем значение частоты:
\[T = \frac{1}{2} \, \text{c} = 0,5 \, \text{c}\]

Угловая скорость \(\omega\) - это угол, пройденный шариком за единицу времени. В данном случае, полный оборот равен \(2\pi\) радиан, а время равно периоду \(T\). Угловая скорость можно найти, используя следующую формулу:
\[\omega = \frac{2\pi}{T}\]
Подставляем значение периода:
\[\omega = \frac{2\pi}{0,5} \, \text{рад/с} \approx 12,57 \, \text{рад/с}\]

Линейная скорость \(v\) - это скорость, с которой шарик перемещается по окружности радиусом \(r\). Линейную скорость можно найти, используя следующую формулу:
\[v = r\omega\]
Подставляем значение радиуса и угловой скорости:
\[v = 0,2 \, \text{м} \cdot 12,57 \, \text{рад/с} \approx 2,51 \, \text{м/с}\]

Таким образом, период обращения шарика составляет 0,5 секунды, угловая скорость равна примерно 12,57 радиан в секунду, а линейная скорость составляет около 2,51 метра в секунду.

b. Нормальное ускорение \(a_{\text{н}}\) - это ускорение, направленное к центру окружности. Так как вращение равномерное, значит, ускорение направлено по радиусу и имеет величину \(a_{\text{н}} = \frac{v^2}{r}\), где \(v\) - линейная скорость, \(r\) - радиус окружности.
Подставляем значения:
\[a_{\text{н}} = \frac{(2,51 \, \text{м/с})^2}{0,2 \, \text{м}} \approx 31,41 \, \text{м/с}^2\]

Тангенциальное ускорение \(a_{\text{т}}\) - это ускорение, направленное по касательной к окружности, оно равно \(a_{\text{т}} = r\omega^2\), где \(r\) - радиус окружности, \(\omega\) - угловая скорость.
Подставляем значения:
\[a_{\text{т}} = 0,2 \, \text{м} \cdot (12,57 \, \text{рад/с})^2 \approx 31,41 \, \text{м/с}^2\]

Таким образом, нормальное и тангенциальное ускорения шарика, вращающегося равномерно по окружности радиусом 20 см с частотой 2 об/с, равны примерно 31,41 м/с².

c. Фаза вращения \( \phi \) - это угол между радиусом шарика, который находится на определенной позиции, и горизонтальной осью. Мы знаем, что шарик вращается равномерно с угловой скоростью \( \omega = 12,57 \, \text{рад/с} \), а момент времени 0,1 сек от начала отсчета составляет 10% от периода \( T \), который составляет 0,5 сек.
Чтобы найти фазу вращения, нужно узнать, какой угол \( \phi \) пройдет шарик за время 0,1 сек. Для этого умножим угловую скорость на время:
\[ \phi = \omega \cdot t = 12,57 \, \text{рад/с} \cdot 0,1 \, \text{с} = 1,257 \, \text{рад}\]

Таким образом, фаза вращения шарика в момент времени 0,1 сек от начала отсчета составляет примерно 1,257 радиан.